Задание 23 из 33Уравнения

Линия №7 · Базовый уровень

Найдите корень уравнения $3 x + 6$ = 4.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 12B3C9

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 58

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В уравнении используется кубическая степень. Для нечётной степени нет ограничений по знаку: куб и кубический корень определены для любого действительного числа.

\sqrt[3]{x+6}=4

Ключевая идея:

Возведение обеих частей в третью степень является равносильным преобразованием на всей числовой прямой. После него остаётся линейное уравнение.

\sqrt[3]{t}=b\Longleftrightarrow t=b^3,\qquad t^3=b^3\Longleftrightarrow t=b

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\sqrt[3]{x+6}=4

Шаг 1. Определим допустимые значения

Кубический корень и кубическая степень допускают любое действительное значение выражения. Отдельных ограничений на переменную нет.

x\in\mathbb R

Шаг 2. Возведём обе части в куб

Применяем к обеим частям одну и ту же обратную операцию. Для нечётной степени знак сохраняется.

\sqrt[3]{x+6}=4

x+6=4^3=64

Шаг 3. Решим линейное уравнение

Переносим свободное число в правую часть и вычисляем значение переменной.

x=64-6

x=58

Шаг 4. Проверим найденное значение

Подстановка должна восстановить исходную кубическую степень или исходный кубический корень.

\sqrt[3]{58+6}=\sqrt[3]{64}=4

Ответ

x=58

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Нечётная степень
Функция куба строго возрастает на всей числовой прямой, поэтому равные кубы имеют равные основания.
$u^3=v^3\Longleftrightarrow u=v$
Кубический корень
В отличие от квадратного, кубический корень определён и для отрицательных чисел.
$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$
Применение правила в этой задаче
После обратной операции исходное уравнение именно этой задачи превращается в линейное равенство.
$\sqrt[3]{x+6}=4\quad\Longleftrightarrow\quad x+6=4^3=64$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Записать лишнее ОДЗ
Для кубического корня не требуется неотрицательность подкоренного выражения.
$\sqrt[3]{t}\quad\text{определён при любом }t\in\mathbb R$
Вычислить куб четырёх как двенадцать
Третья степень означает три одинаковых множителя.
$4^3=4\cdot4\cdot4=64$
Добавить два корня
Уравнение с кубом имеет здесь единственное действительное решение: знак плюс-минус не возникает.
$x+6=4^3=64$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Операция выполнена с обеими частями
Возведение обеих частей в третью степень
$x+6=4^3=64$
Знак куба сохранён
Особенно важно для отрицательной правой части.
$x+6=4^3=64$
Ответ проверен подстановкой
Исходные левая и правая части совпали.
$\sqrt[3]{58+6}=\sqrt[3]{64}=4$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения 3x+6​ = 4.