Задание 11 из 33Уравнения

Линия №7 · Базовый уровень

Найдите корень уравнения $(\frac{1}{7})$ $^{x + 4}$ = 49.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 4CBD4E

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -6

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это показательное уравнение. Его удобно решить приведением обеих частей к степеням с одним и тем же основанием, после чего остаётся сравнить показатели.

\left(\frac17\right)^{x+4}=49

Ключевая идея:

Если положительное основание не равно единице, то равные степени с этим основанием имеют равные показатели.

a^u=a^v,\quad a>0,\ a\ne1\quad\Longleftrightarrow\quad u=v

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\left(\frac17\right)^{x+4}=49

Шаг 1. Выберем общее основание

Основание левой степени уже удобно. Представим число в правой части как степень того же основания.

\left(\frac17\right)^{x+4}=49

49=7^2

7^2=\left(\frac17\right)^{-2}

\left(\frac17\right)^{x+4}=\left(\frac17\right)^{-2}

Шаг 2. Проверим возможность сравнить показатели

Общее основание положительно и не равно единице. Показательная функция с таким основанием принимает каждое значение только при одном показателе.

\frac17>0,\qquad \frac17\ne1

Шаг 3. Приравняем показатели

Основания теперь одинаковы, поэтому равенство степеней заменяется равенством показателей.

x+4=-2

Шаг 4. Решим полученное линейное уравнение

Изолируем переменную, сохраняя все знаки показателя.

x=-2-4

x=-6

Шаг 5. Проверим ответ

Подставляем найденное число в показатель исходной степени и убеждаемся, что получается правая часть.

\left(\frac17\right)^{-6+4}=\left(\frac17\right)^{-2}=7^2=49

Ответ

x=-6

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Одинаковые основания
Главный приём этой задачи — переписать обе части через одно основание, не вычисляя приближённых значений.
$\left(\frac17\right)^{x+4}=\left(\frac17\right)^{-2}$
Равенство показателей
Для положительного основания, отличного от единицы, показательная функция взаимно однозначна.
$a^u=a^v\Longleftrightarrow u=v,\qquad \frac17>0,\qquad \frac17\ne1$
Отрицательная степень
Если встречается обратное число, используйте правило отрицательного показателя. Оно часто позволяет сразу увидеть нужную степень.
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Оставить показатель положительным
Положительная степень одной седьмой даёт дробь; чтобы получить сорок девять, нужен отрицательный показатель.
$\left(\frac17\right)^{-2}=7^2=49$
Приравнять основания вместо показателей
После приведения оснований сравниваются именно показатели степеней.
$x+4=-2$
Перенести четыре с прежним знаком
Из обеих частей вычитают четыре.
$x+4=-2\Longrightarrow x=-6$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Общее основание найдено
Правая часть действительно переписана как степень основания слева.
$\left(\frac17\right)^{x+4}=\left(\frac17\right)^{-2}$
Знаки показателя сохранены
Особенно внимательно проверьте минус перед переменной или отрицательный показатель.
$x+4=-2$
Исходное равенство проверено
Подстановка должна дать точное, а не приближённое совпадение.
$\left(\frac17\right)^{-6+4}=\left(\frac17\right)^{-2}=7^2=49$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения (71​)x+4 = 49.