Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 2 из 69Уравнения
Линия №7

Найдите корень уравнения 5 = 125.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 06AF1F

Показать ответ

Ответ: -1

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это показательное уравнение. Его удобно решить приведением обеих частей к степеням с одним и тем же основанием, после чего остаётся сравнить показатели.

52−x=1255^{2-x}=125
Ключевая идея:

Если положительное основание не равно единице, то равные степени с этим основанием имеют равные показатели.

au=av,a>0, a≠1⟺u=va^u=a^v,\quad a>0,\ a\ne1\quad\Longleftrightarrow\quad u=v
Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ
Исходное уравнение52−x=1255^{2-x}=125
1

Шаг 1. Выберем общее основание

Основание левой степени уже удобно. Представим число в правой части как степень того же основания.

52−x=1255^{2-x}=125125=53125=5^352−x=535^{2-x}=5^3
2

Шаг 2. Проверим возможность сравнить показатели

Общее основание положительно и не равно единице. Показательная функция с таким основанием принимает каждое значение только при одном показателе.

5>0,5≠15>0,\qquad 5\ne1
3

Шаг 3. Приравняем показатели

Основания теперь одинаковы, поэтому равенство степеней заменяется равенством показателей.

2−x=32-x=3
4

Шаг 4. Решим полученное линейное уравнение

Изолируем переменную, сохраняя все знаки показателя.

−x=3−2-x=3-2−x=1-x=1x=−1x=-1
5

Шаг 5. Проверим ответ

Подставляем найденное число в показатель исходной степени и убеждаемся, что получается правая часть.

52−(−1)=53=1255^{2-(-1)}=5^3=125
Ответx=−1x=-1
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Одинаковые основания

    Главный приём этой задачи — переписать обе части через одно основание, не вычисляя приближённых значений.

    52−x=535^{2-x}=5^3
  • Равенство показателей

    Для положительного основания, отличного от единицы, показательная функция взаимно однозначна.

    au=av⟺u=v,5>0,5≠1a^u=a^v\Longleftrightarrow u=v,\qquad 5>0,\qquad 5\ne1
  • Отрицательная степень

    Если встречается обратное число, используйте правило отрицательного показателя. Оно часто позволяет сразу увидеть нужную степень.

    a−n=1ana^{-n}=\frac{1}{a^n}
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Неверно представить 125

    Число сто двадцать пять — третья, а не вторая степень пятёрки.

    125=5⋅5⋅5=53125=5\cdot5\cdot5=5^3
  • Приравнять основания вместо показателей

    После приведения оснований сравниваются именно показатели степеней.

    2−x=32-x=3
  • Потерять минус перед иксом

    Из минус икс равно один получается отрицательный ответ.

    −x=1⟹x=−1-x=1\Longrightarrow x=-1
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  • Общее основание найдено

    Правая часть действительно переписана как степень основания слева.

    52−x=535^{2-x}=5^3
  • Знаки показателя сохранены

    Особенно внимательно проверьте минус перед переменной или отрицательный показатель.

    2−x=32-x=3
  • Исходное равенство проверено

    Подстановка должна дать точное, а не приближённое совпадение.

    52−(−1)=53=1255^{2-(-1)}=5^3=125
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №7
Все задания линии №7 →
УравненияНайдите корень уравнения = .FIPI ID 517970УравненияНайдите корень уравнения = 3.FIPI ID 19E729УравненияНайдите корень уравнения 4 = .FIPI ID B948D4УравненияНайдите корень уравнения = .FIPI ID BF9CD9УравненияНайдите корень уравнения = .FIPI ID B05656УравненияНайдите корень уравнения 9 = 81.FIPI ID D14D52
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена