Задание 4 из 33Уравнения

Линия №7 · Базовый уровень

Найдите корень уравнения 4 $^{x - 7}$ = $\frac{1}{64}$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: B948D4

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это показательное уравнение. Его удобно решить приведением обеих частей к степеням с одним и тем же основанием, после чего остаётся сравнить показатели.

4^{x-7}=\frac1{64}

Ключевая идея:

Если положительное основание не равно единице, то равные степени с этим основанием имеют равные показатели.

a^u=a^v,\quad a>0,\ a\ne1\quad\Longleftrightarrow\quad u=v

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

4^{x-7}=\frac1{64}

Шаг 1. Выберем общее основание

Основание левой степени уже удобно. Представим число в правой части как степень того же основания.

4^{x-7}=\frac1{64}

64=4^3

\frac1{64}=\frac1{4^3}=4^{-3}

4^{x-7}=4^{-3}

Шаг 2. Проверим возможность сравнить показатели

Общее основание положительно и не равно единице. Показательная функция с таким основанием принимает каждое значение только при одном показателе.

4>0,\qquad 4\ne1

Шаг 3. Приравняем показатели

Основания теперь одинаковы, поэтому равенство степеней заменяется равенством показателей.

x-7=-3

Шаг 4. Решим полученное линейное уравнение

Изолируем переменную, сохраняя все знаки показателя.

x=-3+7

x=4

Шаг 5. Проверим ответ

Подставляем найденное число в показатель исходной степени и убеждаемся, что получается правая часть.

4^{4-7}=4^{-3}=\frac1{4^3}=\frac1{64}

Ответ

x=4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Одинаковые основания
Главный приём этой задачи — переписать обе части через одно основание, не вычисляя приближённых значений.
$4^{x-7}=4^{-3}$
Равенство показателей
Для положительного основания, отличного от единицы, показательная функция взаимно однозначна.
$a^u=a^v\Longleftrightarrow u=v,\qquad 4>0,\qquad 4\ne1$
Отрицательная степень
Если встречается обратное число, используйте правило отрицательного показателя. Оно часто позволяет сразу увидеть нужную степень.
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Забыть минус в показателе
Обратная величина соответствует отрицательной степени.
$\frac1{64}=4^{-3},\qquad\text{не }4^3$
Приравнять основания вместо показателей
После приведения оснований сравниваются именно показатели степеней.
$x-7=-3$
Ошибиться при переносе семи
К обеим частям нужно прибавить семь.
$x-7=-3\Longrightarrow x=-3+7=4$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Общее основание найдено
Правая часть действительно переписана как степень основания слева.
$4^{x-7}=4^{-3}$
Знаки показателя сохранены
Особенно внимательно проверьте минус перед переменной или отрицательный показатель.
$x-7=-3$
Исходное равенство проверено
Подстановка должна дать точное, а не приближённое совпадение.
$4^{4-7}=4^{-3}=\frac1{4^3}=\frac1{64}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения 4x−7 = 641​.