Задание 9 из 33Уравнения

Линия №7 · Базовый уровень

Найдите корень уравнения 3 $^{x + 2}$ = 81.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 1E16A7

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это показательное уравнение. Его удобно решить приведением обеих частей к степеням с одним и тем же основанием, после чего остаётся сравнить показатели.

3^{x+2}=81

Ключевая идея:

Если положительное основание не равно единице, то равные степени с этим основанием имеют равные показатели.

a^u=a^v,\quad a>0,\ a\ne1\quad\Longleftrightarrow\quad u=v

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

3^{x+2}=81

Шаг 1. Выберем общее основание

Основание левой степени уже удобно. Представим число в правой части как степень того же основания.

3^{x+2}=81

81=3^4

3^{x+2}=3^4

Шаг 2. Проверим возможность сравнить показатели

Общее основание положительно и не равно единице. Показательная функция с таким основанием принимает каждое значение только при одном показателе.

3>0,\qquad 3\ne1

Шаг 3. Приравняем показатели

Основания теперь одинаковы, поэтому равенство степеней заменяется равенством показателей.

x+2=4

Шаг 4. Решим полученное линейное уравнение

Изолируем переменную, сохраняя все знаки показателя.

x=4-2

x=2

Шаг 5. Проверим ответ

Подставляем найденное число в показатель исходной степени и убеждаемся, что получается правая часть.

3^{2+2}=3^4=81

Ответ

x=2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Одинаковые основания
Главный приём этой задачи — переписать обе части через одно основание, не вычисляя приближённых значений.
$3^{x+2}=3^4$
Равенство показателей
Для положительного основания, отличного от единицы, показательная функция взаимно однозначна.
$a^u=a^v\Longleftrightarrow u=v,\qquad 3>0,\qquad 3\ne1$
Отрицательная степень
Если встречается обратное число, используйте правило отрицательного показателя. Оно часто позволяет сразу увидеть нужную степень.
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Считать 81 третьей степенью
Третья степень тройки равна двадцати семи; для восьмидесяти одного нужен показатель четыре.
$3^3=27,\qquad3^4=81$
Приравнять основания вместо показателей
После приведения оснований сравниваются именно показатели степеней.
$x+2=4$
Не убрать свободное слагаемое
Из показателя икс плюс два вычитаем два с обеих сторон.
$x+2=4\Longrightarrow x=2$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Общее основание найдено
Правая часть действительно переписана как степень основания слева.
$3^{x+2}=3^4$
Знаки показателя сохранены
Особенно внимательно проверьте минус перед переменной или отрицательный показатель.
$x+2=4$
Исходное равенство проверено
Подстановка должна дать точное, а не приближённое совпадение.
$3^{2+2}=3^4=81$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения 3x+2 = 81.