Задание 10 из 33Уравнения

Линия №7 · Базовый уровень

Найдите корень уравнения 2 $^{x - 3}$ = $\frac{1}{16}$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 971AA0

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -1

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это показательное уравнение. Его удобно решить приведением обеих частей к степеням с одним и тем же основанием, после чего остаётся сравнить показатели.

2^{x-3}=\frac1{16}

Ключевая идея:

Если положительное основание не равно единице, то равные степени с этим основанием имеют равные показатели.

a^u=a^v,\quad a>0,\ a\ne1\quad\Longleftrightarrow\quad u=v

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

2^{x-3}=\frac1{16}

Шаг 1. Выберем общее основание

Основание левой степени уже удобно. Представим число в правой части как степень того же основания.

2^{x-3}=\frac1{16}

16=2^4

\frac1{16}=2^{-4}

2^{x-3}=2^{-4}

Шаг 2. Проверим возможность сравнить показатели

Общее основание положительно и не равно единице. Показательная функция с таким основанием принимает каждое значение только при одном показателе.

2>0,\qquad 2\ne1

Шаг 3. Приравняем показатели

Основания теперь одинаковы, поэтому равенство степеней заменяется равенством показателей.

x-3=-4

Шаг 4. Решим полученное линейное уравнение

Изолируем переменную, сохраняя все знаки показателя.

x=-4+3

x=-1

Шаг 5. Проверим ответ

Подставляем найденное число в показатель исходной степени и убеждаемся, что получается правая часть.

2^{-1-3}=2^{-4}=\frac1{16}

Ответ

x=-1

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Одинаковые основания
Главный приём этой задачи — переписать обе части через одно основание, не вычисляя приближённых значений.
$2^{x-3}=2^{-4}$
Равенство показателей
Для положительного основания, отличного от единицы, показательная функция взаимно однозначна.
$a^u=a^v\Longleftrightarrow u=v,\qquad 2>0,\qquad 2\ne1$
Отрицательная степень
Если встречается обратное число, используйте правило отрицательного показателя. Оно часто позволяет сразу увидеть нужную степень.
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Записать одну шестнадцатую как положительную степень
Дробь меньше единицы при основании два требует отрицательного показателя.
$\frac1{16}=\frac1{2^4}=2^{-4}$
Приравнять основания вместо показателей
После приведения оснований сравниваются именно показатели степеней.
$x-3=-4$
Получить минус семь
При переносе минус трёх к обеим частям прибавляют три.
$x-3=-4\Longrightarrow x=-4+3=-1$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Общее основание найдено
Правая часть действительно переписана как степень основания слева.
$2^{x-3}=2^{-4}$
Знаки показателя сохранены
Особенно внимательно проверьте минус перед переменной или отрицательный показатель.
$x-3=-4$
Исходное равенство проверено
Подстановка должна дать точное, а не приближённое совпадение.
$2^{-1-3}=2^{-4}=\frac1{16}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения 2x−3 = 161​.