Задание 21 из 33Уравнения

Линия №7 · Базовый уровень

Найдите корень уравнения 6 $^{x - 5}$ = 36.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 8CEAA5

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 7

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это показательное уравнение. Его удобно решить приведением обеих частей к степеням с одним и тем же основанием, после чего остаётся сравнить показатели.

6^{x-5}=36

Ключевая идея:

Если положительное основание не равно единице, то равные степени с этим основанием имеют равные показатели.

a^u=a^v,\quad a>0,\ a\ne1\quad\Longleftrightarrow\quad u=v

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

6^{x-5}=36

Шаг 1. Выберем общее основание

Основание левой степени уже удобно. Представим число в правой части как степень того же основания.

6^{x-5}=36

36=6^2

6^{x-5}=6^2

Шаг 2. Проверим возможность сравнить показатели

Общее основание положительно и не равно единице. Показательная функция с таким основанием принимает каждое значение только при одном показателе.

6>0,\qquad 6\ne1

Шаг 3. Приравняем показатели

Основания теперь одинаковы, поэтому равенство степеней заменяется равенством показателей.

x-5=2

Шаг 4. Решим полученное линейное уравнение

Изолируем переменную, сохраняя все знаки показателя.

x=2+5

x=7

Шаг 5. Проверим ответ

Подставляем найденное число в показатель исходной степени и убеждаемся, что получается правая часть.

6^{7-5}=6^2=36

Ответ

x=7

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Одинаковые основания
Главный приём этой задачи — переписать обе части через одно основание, не вычисляя приближённых значений.
$6^{x-5}=6^2$
Равенство показателей
Для положительного основания, отличного от единицы, показательная функция взаимно однозначна.
$a^u=a^v\Longleftrightarrow u=v,\qquad 6>0,\qquad 6\ne1$
Отрицательная степень
Если встречается обратное число, используйте правило отрицательного показателя. Оно часто позволяет сразу увидеть нужную степень.
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать основание три
Хотя тридцать шесть можно разложить по-разному, здесь выгодно сохранить основание шесть из левой части.
$36=6^2$
Приравнять основания вместо показателей
После приведения оснований сравниваются именно показатели степеней.
$x-5=2$
Вычесть пять
Чтобы убрать минус пять в показателе, прибавляем пять.
$x-5=2\Longrightarrow x=7$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Общее основание найдено
Правая часть действительно переписана как степень основания слева.
$6^{x-5}=6^2$
Знаки показателя сохранены
Особенно внимательно проверьте минус перед переменной или отрицательный показатель.
$x-5=2$
Исходное равенство проверено
Подстановка должна дать точное, а не приближённое совпадение.
$6^{7-5}=6^2=36$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения 6x−5 = 36.