Задание 6 из 33Уравнения

Линия №7 · Базовый уровень

Найдите корень уравнения $(\frac{1}{6})$ $^{x - 3}$ = $\frac{1}{36}$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: B05656

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это показательное уравнение. Его удобно решить приведением обеих частей к степеням с одним и тем же основанием, после чего остаётся сравнить показатели.

\left(\frac16\right)^{x-3}=\frac1{36}

Ключевая идея:

Если положительное основание не равно единице, то равные степени с этим основанием имеют равные показатели.

a^u=a^v,\quad a>0,\ a\ne1\quad\Longleftrightarrow\quad u=v

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\left(\frac16\right)^{x-3}=\frac1{36}

Шаг 1. Выберем общее основание

Основание левой степени уже удобно. Представим число в правой части как степень того же основания.

\left(\frac16\right)^{x-3}=\frac1{36}

36=6^2

\frac1{36}=\left(\frac16\right)^2

\left(\frac16\right)^{x-3}=\left(\frac16\right)^2

Шаг 2. Проверим возможность сравнить показатели

Общее основание положительно и не равно единице. Показательная функция с таким основанием принимает каждое значение только при одном показателе.

\frac16>0,\qquad \frac16\ne1

Шаг 3. Приравняем показатели

Основания теперь одинаковы, поэтому равенство степеней заменяется равенством показателей.

x-3=2

Шаг 4. Решим полученное линейное уравнение

Изолируем переменную, сохраняя все знаки показателя.

x=2+3

x=5

Шаг 5. Проверим ответ

Подставляем найденное число в показатель исходной степени и убеждаемся, что получается правая часть.

\left(\frac16\right)^{5-3}=\left(\frac16\right)^2=\frac1{36}

Ответ

x=5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Одинаковые основания
Главный приём этой задачи — переписать обе части через одно основание, не вычисляя приближённых значений.
$\left(\frac16\right)^{x-3}=\left(\frac16\right)^2$
Равенство показателей
Для положительного основания, отличного от единицы, показательная функция взаимно однозначна.
$a^u=a^v\Longleftrightarrow u=v,\qquad \frac16>0,\qquad \frac16\ne1$
Отрицательная степень
Если встречается обратное число, используйте правило отрицательного показателя. Оно часто позволяет сразу увидеть нужную степень.
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сделать показатель отрицательным
Основание уже равно одной шестой, поэтому одна тридцать шестая является его положительной второй степенью.
$\frac1{36}=\left(\frac16\right)^2$
Приравнять основания вместо показателей
После приведения оснований сравниваются именно показатели степеней.
$x-3=2$
Вычесть три вместо прибавления
Чтобы убрать минус три, к обеим частям прибавляют три.
$x-3=2\Longrightarrow x=5$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Общее основание найдено
Правая часть действительно переписана как степень основания слева.
$\left(\frac16\right)^{x-3}=\left(\frac16\right)^2$
Знаки показателя сохранены
Особенно внимательно проверьте минус перед переменной или отрицательный показатель.
$x-3=2$
Исходное равенство проверено
Подстановка должна дать точное, а не приближённое совпадение.
$\left(\frac16\right)^{5-3}=\left(\frac16\right)^2=\frac1{36}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения (61​)x−3 = 361​.