Задание 14 из 33Уравнения

Линия №7 · Базовый уровень

Найдите корень уравнения $lo g_{5} (8 - x)$ = $lo g_{5} 2$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 91CD43

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 6

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это логарифмическое уравнение с одинаковыми основаниями. Сначала обязательно ограничим допустимые значения переменной, а затем используем взаимную однозначность логарифмической функции.

\log_5(8-x)=\log_5 2

Ключевая идея:

После проверки области допустимых значений равенство логарифмов с одним и тем же допустимым основанием можно заменить равенством их аргументов.

\log_a u=\log_a v,\quad a>0,\ a\ne1,\ u>0,\ v>0\quad\Longleftrightarrow\quad u=v

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\log_5(8-x)=\log_5 2

Шаг 1. Запишем область допустимых значений

Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Для переменной ограничение даёт левый аргумент.

8-x>0

x<8

Шаг 2. Проверим основание логарифмов

Основание положительно и не равно единице, поэтому логарифмическая функция определена и принимает каждое значение только один раз.

5>0,\qquad 5\ne1

Шаг 3. Приравняем аргументы

Основания слева и справа совпадают, а аргументы допустимы. Значит, от логарифмов можно перейти к обычному линейному уравнению.

\log_5(8-x)=\log_5 2

8-x=2

Шаг 4. Решим линейное уравнение

Переносим известное число в другую часть и аккуратно учитываем знак перед переменной.

-x=2-8

-x=-6

x=6

Шаг 5. Выполним проверку

Подставляем найденное число в исходный аргумент. Он должен быть положительным, а обе части исходного уравнения — совпасть.

6<8

\log_5(8-6)=\log_5 2

Найденное значение входит в ОДЗ, поэтому оно является корнем исходного уравнения.

Ответ

x=6

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Область определения логарифма
Подлогарифмическое выражение всегда должно быть строго больше нуля. В этой задаче получается следующее точное ограничение:
$8-x>0\quad\Longrightarrow\quad x<8$
Равенство логарифмов
При одинаковом допустимом основании логарифмы равны тогда и только тогда, когда равны их положительные аргументы.
$\log_{5}u=\log_{5}v\Longleftrightarrow u=v$
Проверка корня
Для логарифмического уравнения недостаточно решить полученное линейное уравнение: результат обязательно сверяют с ОДЗ и исходным равенством.
$\log_5(8-6)=\log_5 2$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Забыть про ОДЗ
Нельзя приравнивать аргументы, не убедившись, что логарифмы существуют. Граница ОДЗ в ответ не входит, потому что требуется строгое неравенство.
$x<8$
Получить отрицательный ответ из-за знака
Из равенства минус икс равно минус шесть следует положительное значение переменной.
$-x=-6\Longrightarrow x=6$
Сократить разные логарифмы
Правило приравнивания аргументов работает здесь именно потому, что основания слева и справа одинаковы.
$\log_5(8-x)=\log_5 2$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

ОДЗ записано
Проверьте, что найденное число удовлетворяет строгому ограничению на аргумент.
$6\in\mathrm{ОДЗ}$
Аргументы приравнены
Убедитесь, что одинаковые основания были замечены до перехода к линейному уравнению.
$8-x=2$
Подстановка выполнена
Левая и правая части исходного равенства после подстановки должны совпасть.
$\log_5(8-6)=\log_5 2$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения log5​(8−x) = log5​2.