Задание 20 из 33Уравнения

Линия №7 · Базовый уровень

Найдите корень уравнения $lo g_{3} (x + 4)$ = $lo g_{3} 16$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: E4F70F

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 12

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это логарифмическое уравнение с одинаковыми основаниями. Сначала обязательно ограничим допустимые значения переменной, а затем используем взаимную однозначность логарифмической функции.

\log_3(x+4)=\log_3 16

Ключевая идея:

После проверки области допустимых значений равенство логарифмов с одним и тем же допустимым основанием можно заменить равенством их аргументов.

\log_a u=\log_a v,\quad a>0,\ a\ne1,\ u>0,\ v>0\quad\Longleftrightarrow\quad u=v

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\log_3(x+4)=\log_3 16

Шаг 1. Запишем область допустимых значений

Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Для переменной ограничение даёт левый аргумент.

x+4>0

x>-4

Шаг 2. Проверим основание логарифмов

Основание положительно и не равно единице, поэтому логарифмическая функция определена и принимает каждое значение только один раз.

3>0,\qquad 3\ne1

Шаг 3. Приравняем аргументы

Основания слева и справа совпадают, а аргументы допустимы. Значит, от логарифмов можно перейти к обычному линейному уравнению.

\log_3(x+4)=\log_3 16

x+4=16

Шаг 4. Решим линейное уравнение

Переносим известное число в другую часть и аккуратно учитываем знак перед переменной.

x=16-4

x=12

Шаг 5. Выполним проверку

Подставляем найденное число в исходный аргумент. Он должен быть положительным, а обе части исходного уравнения — совпасть.

12>-4

\log_3(12+4)=\log_3 16

Найденное значение входит в ОДЗ, поэтому оно является корнем исходного уравнения.

Ответ

x=12

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Область определения логарифма
Подлогарифмическое выражение всегда должно быть строго больше нуля. В этой задаче получается следующее точное ограничение:
$x+4>0\quad\Longrightarrow\quad x>-4$
Равенство логарифмов
При одинаковом допустимом основании логарифмы равны тогда и только тогда, когда равны их положительные аргументы.
$\log_{3}u=\log_{3}v\Longleftrightarrow u=v$
Проверка корня
Для логарифмического уравнения недостаточно решить полученное линейное уравнение: результат обязательно сверяют с ОДЗ и исходным равенством.
$\log_3(12+4)=\log_3 16$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Забыть про ОДЗ
Нельзя приравнивать аргументы, не убедившись, что логарифмы существуют. Граница ОДЗ в ответ не входит, потому что требуется строгое неравенство.
$x>-4$
Прибавить четыре вместо вычитания
Четыре переносится из левой части в правую с противоположным знаком.
$x+4=16\Longrightarrow x=16-4=12$
Сократить разные логарифмы
Правило приравнивания аргументов работает здесь именно потому, что основания слева и справа одинаковы.
$\log_3(x+4)=\log_3 16$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

ОДЗ записано
Проверьте, что найденное число удовлетворяет строгому ограничению на аргумент.
$12\in\mathrm{ОДЗ}$
Аргументы приравнены
Убедитесь, что одинаковые основания были замечены до перехода к линейному уравнению.
$x+4=16$
Подстановка выполнена
Левая и правая части исходного равенства после подстановки должны совпасть.
$\log_3(12+4)=\log_3 16$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения log3​(x+4) = log3​16.