Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
↪ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 5 из 33Уравнения
Линия №7 · Базовый уровень

Найдите корень уравнения = .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: BF9CD9

Показать ответ

Ответ: 8

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это логарифмическое уравнение с одинаковыми основаниями. Сначала обязательно ограничим допустимые значения переменной, а затем используем взаимную однозначность логарифмической функции.

log⁡3(15−x)=log⁡37\log_3(15-x)=\log_3 7
Ключевая идея:

После проверки области допустимых значений равенство логарифмов с одним и тем же допустимым основанием можно заменить равенством их аргументов.

log⁡au=log⁡av,a>0, a≠1, u>0, v>0⟺u=v\log_a u=\log_a v,\quad a>0,\ a\ne1,\ u>0,\ v>0\quad\Longleftrightarrow\quad u=v
Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ
Исходное уравнениеlog⁡3(15−x)=log⁡37\log_3(15-x)=\log_3 7
1

Шаг 1. Запишем область допустимых значений

Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Для переменной ограничение даёт левый аргумент.

15−x>015-x>0x<15x<15
2

Шаг 2. Проверим основание логарифмов

Основание положительно и не равно единице, поэтому логарифмическая функция определена и принимает каждое значение только один раз.

3>0,3≠13>0,\qquad 3\ne1
3

Шаг 3. Приравняем аргументы

Основания слева и справа совпадают, а аргументы допустимы. Значит, от логарифмов можно перейти к обычному линейному уравнению.

log⁡3(15−x)=log⁡37\log_3(15-x)=\log_3 715−x=715-x=7
4

Шаг 4. Решим линейное уравнение

Переносим известное число в другую часть и аккуратно учитываем знак перед переменной.

−x=7−15-x=7-15−x=−8-x=-8x=8x=8
5

Шаг 5. Выполним проверку

Подставляем найденное число в исходный аргумент. Он должен быть положительным, а обе части исходного уравнения — совпасть.

8<158<15log⁡3(15−8)=log⁡37\log_3(15-8)=\log_3 7

Найденное значение входит в ОДЗ, поэтому оно является корнем исходного уравнения.

Ответx=8x=8
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Область определения логарифма

    Подлогарифмическое выражение всегда должно быть строго больше нуля. В этой задаче получается следующее точное ограничение:

    15−x>0⟹x<1515-x>0\quad\Longrightarrow\quad x<15
  • Равенство логарифмов

    При одинаковом допустимом основании логарифмы равны тогда и только тогда, когда равны их положительные аргументы.

    log⁡3u=log⁡3v⟺u=v\log_{3}u=\log_{3}v\Longleftrightarrow u=v
  • Проверка корня

    Для логарифмического уравнения недостаточно решить полученное линейное уравнение: результат обязательно сверяют с ОДЗ и исходным равенством.

    log⁡3(15−8)=log⁡37\log_3(15-8)=\log_3 7
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Забыть про ОДЗ

    Нельзя приравнивать аргументы, не убедившись, что логарифмы существуют. Граница ОДЗ в ответ не входит, потому что требуется строгое неравенство.

    x<15x<15
  • Потерять минус перед переменной

    После вычитания пятнадцати получается минус восемь, а при делении на минус один знак меняется.

    −x=−8⟹x=8-x=-8\Longrightarrow x=8
  • Сократить разные логарифмы

    Правило приравнивания аргументов работает здесь именно потому, что основания слева и справа одинаковы.

    log⁡3(15−x)=log⁡37\log_3(15-x)=\log_3 7
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  • ОДЗ записано

    Проверьте, что найденное число удовлетворяет строгому ограничению на аргумент.

    8∈ОДЗ8\in\mathrm{ОДЗ}
  • Аргументы приравнены

    Убедитесь, что одинаковые основания были замечены до перехода к линейному уравнению.

    15−x=715-x=7
  • Подстановка выполнена

    Левая и правая части исходного равенства после подстановки должны совпасть.

    log⁡3(15−8)=log⁡37\log_3(15-8)=\log_3 7
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №7
Все задания линии №7 →
УравненияНайдите корень уравнения = .FIPI ID 517970УравненияНайдите корень уравнения 5 = 125.FIPI ID 06AF1FУравненияНайдите корень уравнения = 3.FIPI ID 19E729УравненияНайдите корень уравнения 4 = .FIPI ID B948D4УравненияНайдите корень уравнения = .FIPI ID B05656УравненияНайдите корень уравнения 9 = 81.FIPI ID D14D52
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена