Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 27 из 69Уравнения
Линия №7

Найдите корень уравнения ( + 4) = −125.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 885E9A

Показать ответ

Ответ: -9

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В уравнении используется кубическая степень. Для нечётной степени нет ограничений по знаку: куб и кубический корень определены для любого действительного числа.

(x+4)3=−125(x+4)^3=-125
Ключевая идея:

Извлечение кубического корня из обеих частей является равносильным преобразованием на всей числовой прямой. После него остаётся линейное уравнение.

t3=b⟺t=b3,t3=b3⟺t=b\sqrt[3]{t}=b\Longleftrightarrow t=b^3,\qquad t^3=b^3\Longleftrightarrow t=b
Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ
Исходное уравнение(x+4)3=−125(x+4)^3=-125
1

Шаг 1. Определим допустимые значения

Кубический корень и кубическая степень допускают любое действительное значение выражения. Отдельных ограничений на переменную нет.

x∈Rx\in\mathbb R
2

Шаг 2. Извлечём кубический корень

Применяем к обеим частям одну и ту же обратную операцию. Для нечётной степени знак сохраняется.

(x+4)3=−125(x+4)^3=-125x+4=−1253=−5x+4=\sqrt[3]{-125}=-5
3

Шаг 3. Решим линейное уравнение

Переносим свободное число в правую часть и вычисляем значение переменной.

x=−5−4x=-5-4x=−9x=-9
4

Шаг 4. Проверим найденное значение

Подстановка должна восстановить исходную кубическую степень или исходный кубический корень.

(−9+4)3=(−5)3=−125(-9+4)^3=(-5)^3=-125
Ответx=−9x=-9
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Нечётная степень

    Функция куба строго возрастает на всей числовой прямой, поэтому равные кубы имеют равные основания.

    u3=v3⟺u=vu^3=v^3\Longleftrightarrow u=v
  • Кубический корень

    В отличие от квадратного, кубический корень определён и для отрицательных чисел.

    −a3=−a3\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}
  • Применение правила в этой задаче

    После обратной операции исходное уравнение именно этой задачи превращается в линейное равенство.

    (x+4)3=−125⟺x+4=−1253=−5(x+4)^3=-125\quad\Longleftrightarrow\quad x+4=\sqrt[3]{-125}=-5
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Записать лишнее ОДЗ

    Для кубического корня не требуется неотрицательность подкоренного выражения.

    t3определён при любом t∈R\sqrt[3]{t}\quad\text{определён при любом }t\in\mathbb R
  • Потерять минус при извлечении корня

    Кубический корень из отрицательного числа отрицателен.

    −1253=−5\sqrt[3]{-125}=-5
  • Добавить два корня

    Уравнение с кубом имеет здесь единственное действительное решение: знак плюс-минус не возникает.

    x+4=−1253=−5x+4=\sqrt[3]{-125}=-5
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  • Операция выполнена с обеими частями

    Извлечение кубического корня из обеих частей

    x+4=−1253=−5x+4=\sqrt[3]{-125}=-5
  • Знак куба сохранён

    Особенно важно для отрицательной правой части.

    x+4=−1253=−5x+4=\sqrt[3]{-125}=-5
  • Ответ проверен подстановкой

    Исходные левая и правая части совпали.

    (−9+4)3=(−5)3=−125(-9+4)^3=(-5)^3=-125
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №7
Все задания линии №7 →
УравненияНайдите корень уравнения = .FIPI ID 517970УравненияНайдите корень уравнения 5 = 125.FIPI ID 06AF1FУравненияНайдите корень уравнения = 3.FIPI ID 19E729УравненияНайдите корень уравнения 4 = .FIPI ID B948D4УравненияНайдите корень уравнения = .FIPI ID BF9CD9УравненияНайдите корень уравнения = .FIPI ID B05656
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена