Задание 25 из 33Уравнения

Линия №7 · Базовый уровень

Найдите корень уравнения $7 x - 31$ = 2.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 5CE2C6

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это иррациональное уравнение с одним квадратным корнем. Сначала проверяем допустимость подкоренного выражения, затем возводим обе части в квадрат и решаем линейное уравнение.

\sqrt{7x-31}=2

Ключевая идея:

Поскольку квадратный корень неотрицателен и справа стоит неотрицательное число, обе части можно возвести в квадрат, а найденный корень затем проверить в исходном уравнении.

\sqrt{u}=b,\quad b\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad u=b^2

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\sqrt{7x-31}=2

Шаг 1. Запишем область допустимых значений

Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным.

7x-31\ge0

x\ge\frac{31}{7}

Шаг 2. Возведём обе части в квадрат

Правая часть неотрицательна, поэтому на ОДЗ это преобразование равносильно исходному уравнению.

\sqrt{7x-31}=2

7x-31=2^2=4

Шаг 3. Решим линейное уравнение

Раскрывать скобки не требуется: после исчезновения корня последовательно переносим число и делим на коэффициент при переменной.

7x=4+31

7x=35

x=5

Шаг 4. Проверим ОДЗ

Сравниваем найденное число с ограничением, полученным на первом шаге.

5\in\mathrm{ОДЗ}

Шаг 5. Подставим ответ в исходное уравнение

При подстановке под корнем должен получиться полный квадрат, а арифметический корень — равняться правой части.

7\cdot5-31=4\ge0

\sqrt{7\cdot5-31}=\sqrt4=2

Ответ

x=5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Смысл арифметического квадратного корня
Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа и сам всегда неотрицателен.
$u\ge0\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{u}\ge0$
Равносильное возведение в квадрат
Если справа стоит неотрицательное число, уравнение с одним корнем можно заменить уравнением без корня.
$\sqrt{7x-31}=2\Longleftrightarrow 7x-31=2^2=4$
ОДЗ именно этой задачи
Ограничение получают до возведения в квадрат и используют при финальной проверке.
$7x-31\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad x\ge\frac{31}{7}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Поставить знак плюс-минус
Арифметический квадратный корень не даёт два значения. Знак плюс-минус появляется при решении квадратного уравнения, но не здесь.
$\sqrt{2^2}=2,\qquad \text{не }\pm2$
Вычесть тридцать один
Минус тридцать один при переносе становится плюсом.
$7x-31=4\Longrightarrow7x=35$
Не проверить найденное число
Возведение в квадрат в более сложных уравнениях может дать посторонний корень, поэтому подстановка должна стать привычным последним шагом.
$\sqrt{7\cdot5-31}=\sqrt4=2$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Подкоренное выражение допустимо
Найденный ответ входит в ОДЗ.
$5\in\mathrm{ОДЗ}$
Правая часть возведена в квадрат
Проверьте числовой квадрат в уравнении без радикала.
$2^2$
Подстановка возвращает исходную правую часть
Корень вычислен как арифметический, то есть неотрицательный.
$\sqrt{7\cdot5-31}=\sqrt4=2$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения 7x−31​ = 2.