Задание 18 из 33Уравнения

Линия №7 · Базовый уровень

Найдите корень уравнения ( $x$ − 5) $^{3}$ = 64.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 6A95F2

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 9

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В уравнении используется кубическая степень. Для нечётной степени нет ограничений по знаку: куб и кубический корень определены для любого действительного числа.

(x-5)^3=64

Ключевая идея:

Извлечение кубического корня из обеих частей является равносильным преобразованием на всей числовой прямой. После него остаётся линейное уравнение.

\sqrt[3]{t}=b\Longleftrightarrow t=b^3,\qquad t^3=b^3\Longleftrightarrow t=b

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

(x-5)^3=64

Шаг 1. Определим допустимые значения

Кубический корень и кубическая степень допускают любое действительное значение выражения. Отдельных ограничений на переменную нет.

x\in\mathbb R

Шаг 2. Извлечём кубический корень

Применяем к обеим частям одну и ту же обратную операцию. Для нечётной степени знак сохраняется.

(x-5)^3=64

x-5=\sqrt[3]{64}=4

Шаг 3. Решим линейное уравнение

Переносим свободное число в правую часть и вычисляем значение переменной.

x=4+5

x=9

Шаг 4. Проверим найденное значение

Подстановка должна восстановить исходную кубическую степень или исходный кубический корень.

(9-5)^3=4^3=64

Ответ

x=9

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Нечётная степень
Функция куба строго возрастает на всей числовой прямой, поэтому равные кубы имеют равные основания.
$u^3=v^3\Longleftrightarrow u=v$
Кубический корень
В отличие от квадратного, кубический корень определён и для отрицательных чисел.
$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$
Применение правила в этой задаче
После обратной операции исходное уравнение именно этой задачи превращается в линейное равенство.
$(x-5)^3=64\quad\Longleftrightarrow\quad x-5=\sqrt[3]{64}=4$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Записать лишнее ОДЗ
Для кубического корня не требуется неотрицательность подкоренного выражения.
$\sqrt[3]{t}\quad\text{определён при любом }t\in\mathbb R$
Извлечь квадратный корень
Слева стоит третья степень, поэтому нужна обратная операция — кубический корень.
$\sqrt[3]{64}=4$
Добавить два корня
Уравнение с кубом имеет здесь единственное действительное решение: знак плюс-минус не возникает.
$x-5=\sqrt[3]{64}=4$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Операция выполнена с обеими частями
Извлечение кубического корня из обеих частей
$x-5=\sqrt[3]{64}=4$
Знак куба сохранён
Особенно важно для отрицательной правой части.
$x-5=\sqrt[3]{64}=4$
Ответ проверен подстановкой
Исходные левая и правая части совпали.
$(9-5)^3=4^3=64$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения (x − 5)3 = 64.