Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
↪ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 33 из 33Уравнения
Линия №7 · Базовый уровень

Найдите корень уравнения 8 = 64.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 2BDA84

Показать ответ

Ответ: 7

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это показательное уравнение. Его удобно решить приведением обеих частей к степеням с одним и тем же основанием, после чего остаётся сравнить показатели.

89−x=648^{9-x}=64
Ключевая идея:

Если положительное основание не равно единице, то равные степени с этим основанием имеют равные показатели.

au=av,a>0, a≠1⟺u=va^u=a^v,\quad a>0,\ a\ne1\quad\Longleftrightarrow\quad u=v
Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ
Исходное уравнение89−x=648^{9-x}=64
1

Шаг 1. Выберем общее основание

Основание левой степени уже удобно. Представим число в правой части как степень того же основания.

89−x=648^{9-x}=6464=8264=8^289−x=828^{9-x}=8^2
2

Шаг 2. Проверим возможность сравнить показатели

Общее основание положительно и не равно единице. Показательная функция с таким основанием принимает каждое значение только при одном показателе.

8>0,8≠18>0,\qquad 8\ne1
3

Шаг 3. Приравняем показатели

Основания теперь одинаковы, поэтому равенство степеней заменяется равенством показателей.

9−x=29-x=2
4

Шаг 4. Решим полученное линейное уравнение

Изолируем переменную, сохраняя все знаки показателя.

−x=2−9-x=2-9−x=−7-x=-7x=7x=7
5

Шаг 5. Проверим ответ

Подставляем найденное число в показатель исходной степени и убеждаемся, что получается правая часть.

89−7=82=648^{9-7}=8^2=64
Ответx=7x=7
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Одинаковые основания

    Главный приём этой задачи — переписать обе части через одно основание, не вычисляя приближённых значений.

    89−x=828^{9-x}=8^2
  • Равенство показателей

    Для положительного основания, отличного от единицы, показательная функция взаимно однозначна.

    au=av⟺u=v,8>0,8≠1a^u=a^v\Longleftrightarrow u=v,\qquad 8>0,\qquad 8\ne1
  • Отрицательная степень

    Если встречается обратное число, используйте правило отрицательного показателя. Оно часто позволяет сразу увидеть нужную степень.

    a−n=1ana^{-n}=\frac{1}{a^n}
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Выбрать неудобное основание два и ошибиться

    Можно перейти к двойке, но основание восемь уже стоит слева и сразу даёт короткую запись.

    64=8264=8^2
  • Приравнять основания вместо показателей

    После приведения оснований сравниваются именно показатели степеней.

    9−x=29-x=2
  • Потерять минус перед переменной

    После переноса девяти обе части отрицательны; деление на минус один даёт положительный ответ.

    −x=−7⟹x=7-x=-7\Longrightarrow x=7
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  • Общее основание найдено

    Правая часть действительно переписана как степень основания слева.

    89−x=828^{9-x}=8^2
  • Знаки показателя сохранены

    Особенно внимательно проверьте минус перед переменной или отрицательный показатель.

    9−x=29-x=2
  • Исходное равенство проверено

    Подстановка должна дать точное, а не приближённое совпадение.

    89−7=82=648^{9-7}=8^2=64
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №7
Все задания линии №7 →
УравненияНайдите корень уравнения = .FIPI ID 517970УравненияНайдите корень уравнения 5 = 125.FIPI ID 06AF1FУравненияНайдите корень уравнения = 3.FIPI ID 19E729УравненияНайдите корень уравнения 4 = .FIPI ID B948D4УравненияНайдите корень уравнения = .FIPI ID BF9CD9УравненияНайдите корень уравнения = .FIPI ID B05656
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена