Задание 17 из 69Уравнения

Линия №7

Найдите корень уравнения $lo g_{7} (1 - x)$ = $lo g_{7} 5$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 586EF2

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это логарифмическое уравнение с одинаковыми основаниями. Сначала обязательно ограничим допустимые значения переменной, а затем используем взаимную однозначность логарифмической функции.

\log_7(1-x)=\log_7 5

Ключевая идея:

После проверки области допустимых значений равенство логарифмов с одним и тем же допустимым основанием можно заменить равенством их аргументов.

\log_a u=\log_a v,\quad a>0,\ a\ne1,\ u>0,\ v>0\quad\Longleftrightarrow\quad u=v

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\log_7(1-x)=\log_7 5

Шаг 1. Запишем область допустимых значений

Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Для переменной ограничение даёт левый аргумент.

1-x>0

x<1

Шаг 2. Проверим основание логарифмов

Основание положительно и не равно единице, поэтому логарифмическая функция определена и принимает каждое значение только один раз.

7>0,\qquad 7\ne1

Шаг 3. Приравняем аргументы

Основания слева и справа совпадают, а аргументы допустимы. Значит, от логарифмов можно перейти к обычному линейному уравнению.

\log_7(1-x)=\log_7 5

1-x=5

Шаг 4. Решим линейное уравнение

Переносим известное число в другую часть и аккуратно учитываем знак перед переменной.

-x=5-1

-x=4

x=-4

Шаг 5. Выполним проверку

Подставляем найденное число в исходный аргумент. Он должен быть положительным, а обе части исходного уравнения — совпасть.

-4<1

\log_7(1-(-4))=\log_7 5

Найденное значение входит в ОДЗ, поэтому оно является корнем исходного уравнения.

Ответ

x=-4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Область определения логарифма
Подлогарифмическое выражение всегда должно быть строго больше нуля. В этой задаче получается следующее точное ограничение:
$1-x>0\quad\Longrightarrow\quad x<1$
Равенство логарифмов
При одинаковом допустимом основании логарифмы равны тогда и только тогда, когда равны их положительные аргументы.
$\log_{7}u=\log_{7}v\Longleftrightarrow u=v$
Проверка корня
Для логарифмического уравнения недостаточно решить полученное линейное уравнение: результат обязательно сверяют с ОДЗ и исходным равенством.
$\log_7(1-(-4))=\log_7 5$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Забыть про ОДЗ
Нельзя приравнивать аргументы, не убедившись, что логарифмы существуют. Граница ОДЗ в ответ не входит, потому что требуется строгое неравенство.
$x<1$
Забыть, что делим на минус один
В этой задаче ответ отрицательный: из минус икс равно четыре получаем икс равно минус четыре.
$-x=4\Longrightarrow x=-4$
Сократить разные логарифмы
Правило приравнивания аргументов работает здесь именно потому, что основания слева и справа одинаковы.
$\log_7(1-x)=\log_7 5$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

ОДЗ записано
Проверьте, что найденное число удовлетворяет строгому ограничению на аргумент.
$-4\in\mathrm{ОДЗ}$
Аргументы приравнены
Убедитесь, что одинаковые основания были замечены до перехода к линейному уравнению.
$1-x=5$
Подстановка выполнена
Левая и правая части исходного равенства после подстановки должны совпасть.
$\log_7(1-(-4))=\log_7 5$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения log7​(1−x) = log7​5.