Задание 22 из 33Уравнения

Линия №7 · Базовый уровень

Найдите корень уравнения 3 $^{x + 6}$ = 9 $^{2 x}$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 19FBCF

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В обеих частях стоят степени, но основания различаются. Так как девять является квадратом тройки, правую часть удобно полностью переписать через основание три.

3^{x+6}=9^{2x}

Ключевая идея:

Сначала используем степень степени, затем сравниваем показатели при одинаковом основании.

(a^m)^n=a^{mn}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

3^{x+6}=9^{2x}

Шаг 1. Представим девять как степень тройки

Основание правой части связано с основанием левой части.

9=3^2

9^{2x}=(3^2)^{2x}

Шаг 2. Применим правило степени степени

Показатель два умножается на весь показатель два икс.

(3^2)^{2x}=3^{2\cdot2x}=3^{4x}

Шаг 3. Приравняем показатели

Основания одинаковы и равны трём, поэтому показатели должны совпадать.

3^{x+6}=3^{4x}

x+6=4x

Шаг 4. Решим линейное уравнение

Вычитаем икс из обеих частей и делим на три.

6=4x-x

6=3x

x=2

Шаг 5. Проверим

Подстановка двойки даёт одинаковую степень тройки в обеих частях.

3^{2+6}=3^8

9^{2\cdot2}=9^4=(3^2)^4=3^8

Ответ

x=2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Связь оснований
Перед сравнением показателей основания приводят к одному числу.
$9=3^2$
Степень степени
Показатели перемножаются, а не складываются.
$(3^2)^{2x}=3^{4x}$
Одинаковые основания
Тройка положительна и не равна единице, поэтому показатели равны.
$3^u=3^v\Longleftrightarrow u=v$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сложить показатели два и два икс
При возведении степени в степень показатели умножаются.
$2\cdot2x=4x,\qquad\text{не }2+2x$
Приравнять икс плюс шесть к двум икс
Сначала нужно учесть квадрат в основании девять; справа получается четыре икс.
$9^{2x}=3^{4x}$
Неверно перенести икс
Четыре икс минус икс равно три икс.
$x+6=4x\Longrightarrow6=3x$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Девять заменено на квадрат тройки
Основания в итоге совпадают.
$9=3^2$
Показатели перемножены
Справа должен получиться показатель четыре икс.
$2\cdot2x=4x$
Проверка даёт одну степень
Обе части равны тройке в восьмой степени.
$3^8=3^8$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения 3x+6 = 92x.