Задание 16 из 33Уравнения

Линия №7 · Базовый уровень

Найдите корень уравнения $3 x + 49$ = 10.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: BBFFF9

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 17

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это иррациональное уравнение с одним квадратным корнем. Сначала проверяем допустимость подкоренного выражения, затем возводим обе части в квадрат и решаем линейное уравнение.

\sqrt{3x+49}=10

Ключевая идея:

Поскольку квадратный корень неотрицателен и справа стоит неотрицательное число, обе части можно возвести в квадрат, а найденный корень затем проверить в исходном уравнении.

\sqrt{u}=b,\quad b\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad u=b^2

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\sqrt{3x+49}=10

Шаг 1. Запишем область допустимых значений

Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным.

3x+49\ge0

x\ge-\frac{49}{3}

Шаг 2. Возведём обе части в квадрат

Правая часть неотрицательна, поэтому на ОДЗ это преобразование равносильно исходному уравнению.

\sqrt{3x+49}=10

3x+49=10^2=100

Шаг 3. Решим линейное уравнение

Раскрывать скобки не требуется: после исчезновения корня последовательно переносим число и делим на коэффициент при переменной.

3x=100-49

3x=51

x=17

Шаг 4. Проверим ОДЗ

Сравниваем найденное число с ограничением, полученным на первом шаге.

17\in\mathrm{ОДЗ}

Шаг 5. Подставим ответ в исходное уравнение

При подстановке под корнем должен получиться полный квадрат, а арифметический корень — равняться правой части.

3\cdot17+49=100\ge0

\sqrt{3\cdot17+49}=\sqrt{100}=10

Ответ

x=17

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Смысл арифметического квадратного корня
Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа и сам всегда неотрицателен.
$u\ge0\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{u}\ge0$
Равносильное возведение в квадрат
Если справа стоит неотрицательное число, уравнение с одним корнем можно заменить уравнением без корня.
$\sqrt{3x+49}=10\Longleftrightarrow 3x+49=10^2=100$
ОДЗ именно этой задачи
Ограничение получают до возведения в квадрат и используют при финальной проверке.
$3x+49\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad x\ge-\frac{49}{3}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Поставить знак плюс-минус
Арифметический квадратный корень не даёт два значения. Знак плюс-минус появляется при решении квадратного уравнения, но не здесь.
$\sqrt{10^2}=10,\qquad \text{не }\pm10$
Неверно вычесть сорок девять
После возведения в квадрат получаем сто, затем сто минус сорок девять равно пятьдесят один.
$100-49=51$
Не проверить найденное число
Возведение в квадрат в более сложных уравнениях может дать посторонний корень, поэтому подстановка должна стать привычным последним шагом.
$\sqrt{3\cdot17+49}=\sqrt{100}=10$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Подкоренное выражение допустимо
Найденный ответ входит в ОДЗ.
$17\in\mathrm{ОДЗ}$
Правая часть возведена в квадрат
Проверьте числовой квадрат в уравнении без радикала.
$10^2$
Подстановка возвращает исходную правую часть
Корень вычислен как арифметический, то есть неотрицательный.
$\sqrt{3\cdot17+49}=\sqrt{100}=10$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения 3x+49​ = 10.