Задание 32 из 69Уравнения

Линия №7

Найдите корень уравнения $lo g_{4} (x - 4)$ = 3.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 17CF80

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 68

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В правой части нет логарифма, поэтому используем определение логарифма: оно переводит уравнение в равенство между аргументом и степенью основания.

\log_4(x-4)=3

Ключевая идея:

Логарифм показывает, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.

\log_a b=c\Longleftrightarrow a^c=b,\qquad a>0,\ a\ne1,\ b>0

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\log_4(x-4)=3

Шаг 1. Запишем ОДЗ

Аргумент логарифма должен быть строго положительным.

x-4>0

x>4

Шаг 2. Проверим основание

Четыре положительно и не равно единице, поэтому основание допустимо.

4>0

4\ne1

Шаг 3. Применим определение логарифма

Тройка — это показатель степени, в которую возводится основание четыре.

\log_4(x-4)=3

x-4=4^3

Шаг 4. Вычислим степень и решим уравнение

Четыре в кубе равно шестидесяти четырём; затем прибавляем четыре.

4^3=64

x-4=64

x=64+4=68

Шаг 5. Проверим

Ответ входит в ОДЗ, а аргумент превращается в нужную степень четвёрки.

68>4

\log_4(68-4)=\log_4 64=3

Ответ

x=68

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Определение логарифма
Это основной переход от логарифмической записи к показательной.
$\log_a b=c\Longleftrightarrow a^c=b$
Условия существования
Основание положительно и не равно единице, аргумент строго положителен.
$a>0,\quad a\ne1,\quad b>0$
Степень основания
В этой задаче показатель уже известен и равен трём.
$4^3=64$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Умножить четыре на три
Логарифм задаёт степень, поэтому нужно возведение в куб, а не умножение.
$4^3=64,\qquad\text{не }4\cdot3$
Забыть ОДЗ
Значение икс равно четыре не допускается, поскольку аргумент тогда равен нулю.
$x>4$
Остановиться на шестидесяти четырёх
Шестьдесят четыре — это значение аргумента икс минус четыре, а не самой переменной.
$x-4=64\Longrightarrow x=68$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Использовано определение
Логарифмическая запись правильно превращена в показательную.
$x-4=4^3$
Аргумент положителен
Найденное значение входит в ОДЗ.
$68-4=64>0$
Логарифм проверен
Четвёрка в третьей степени действительно равна аргументу.
$\log_4 64=3$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения log4​(x−4) = 3.