ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ E4D07810 из 157

Функция с модулем: две общие точки

Постройте график функции

$y = | x | \cdot (x - 1) - 3 x$ .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание E4D078.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Получаем:

y=\begin{cases}- x^{2} - 2 x,&x<0.\\x^{2} - 4 x,&x\geq0.\end{cases}

Для $y=- x^{2} - 2 x$ :

y=1 - (x + 1)^{2}

Вершина полной параболы $(-1;1)$ входит в нужную часть.

Для $y=x^{2} - 4 x$ :

y=(x - 2)^{2} - 4

Вершина полной параболы $(2;-4)$ входит в нужную часть.

$A(-1;1)$ — закрашенная; $B(0;0)$ — закрашенная; $C(2;-4)$ — закрашенная.

$График функции из задания ФИПИ E4D078. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямые $y=1$ , $y=-4$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

По графику считаем число пересечений $N$ с прямой $y=m$ :

m\in(-\infty;-4)\cup(1;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=1

m\in\{-4;\;1\}\quad\Longrightarrow\quad N=2

m\in(-4;1)\quad\Longrightarrow\quad N=3

Ответ: $m\in\{-4;\;1\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

Идея решения

Раскроем модуль отдельно при отрицательных и неотрицательных x. Построим две части парабол и найдём уровни их вершин.

Что строим: $y=- 3 x + (x - 1) |{x}|$
Семейство прямых: $y=m$
Ограничения: Все действительные x; для каждой части соблюдаем её промежуток.

Читаем условия построения

Функция определена при всех действительных x. Если формул несколько, каждая действует только на своём промежутке.

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y

=- 3 x

+ (- x) (x - 1)

=- x^{2}

- 2 x

При $x<0$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y

=- 3 x

+ (x) (x - 1)

=x^{2}

- 4 x

При $x\geq0$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y=\begin{cases}- x^{2} - 2 x,&x<0.\\x^{2} - 4 x,&x\geq0.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим часть параболы $y=- x^{2} - 2 x$

Коэффициент при x² равен $-1$ , поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых $x\in(-\infty;0)$ .

x_0

=-\frac{-2}{2\cdot(-1)}

=-1

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(-1)

\cdot(-1)^2

+(-2)

\cdot(-1)

+0

=1

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=1

- (x + 1)^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&-2&-1&- \frac{1}{2}\\\hline y&0&1&\frac{3}{4}\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Строим часть параболы $y=x^{2} - 4 x$

Коэффициент при x² равен $1$ , поэтому ветви направлены вверх. Оставляем точки, для которых $x\in[0;\infty)$ .

x_0

=-\frac{-4}{2\cdot1}

=2

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=1

\cdot2^2

+(-4)

\cdot2

+0

=-4

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=(x - 2)^{2}

- 4

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&1&2&3\\\hline y&-3&-4&-3\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(-1;1)$ — закрашенная; $B(0;0)$ — закрашенная; $C(2;-4)$ — закрашенная.

Пунктиром показаны прямые $y=1$ , $y=-4$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ E4D078 с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(-1;1)) — закрашенная; (B(0;0)) — закрашенная; (C(2;-4)) — закрашенная. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

Обозначим через $N$ число общих точек. Передвигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения со всеми частями графика. На граничных уровнях учитываем закрашенные точки и не учитываем выколотые.

m\in(-\infty;-4)\cup(1;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N

=1

Число общих точек на указанных уровнях.

m\in\{-4;\;1\}\quad\Longrightarrow\quad N

=2

Число общих точек на указанных уровнях.

m\in(-4;1)\quad\Longrightarrow\quad N

=3

Число общих точек на указанных уровнях.

Уровни вершин, границ частей и выколотых точек проверены отдельно. Промежутки в таблице охватывают все действительные значения параметра.

Проверяем выбранные значения

Проверим показанные на рисунке прямые по формулам. Каждый корень учитываем только на его участке; общие границы не считаем дважды.

m

=1\quad\Longrightarrow\quad N

=2

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

m

=-4\quad\Longrightarrow\quad N

=2

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

Полный разбор всех промежутков и граничных значений приведён выше, поэтому отдельные примеры не подменяют доказательство полноты ответа.

Записываем полный ответ

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

m\in\{-4;\;1\}

Учитываем все найденные значения и правильно ставим скобки у границ промежутков.

Что проверяет эксперт в задании №22

За задание можно получить до 2 баллов. В материалах ФИПИ оцениваются построение графика и полный ответ на вопрос задачи.

2 балла: График построен верно и получен правильный ответ: найдены все требуемые значения параметра либо наибольшее число общих точек.
1 балл: График построен верно, но ответ на вопрос задачи неверен или отсутствует.
0 баллов: Решение не отвечает указанным критериям. Один ответ без правильно построенного графика недостаточен.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026, страница 25. Решения и образцы записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Все части графика построены на своих промежутках; вершины и опорные точки вычислены верно.Выколотые точки, включённые границы и асимптоты учтены при подсчёте общих точек.Проверены промежутки и их границы; записан полный ответ с правильными знаками и скобками.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, графики, исходные ограничения и все значения параметра. Ответы сверены двумя независимыми способами.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Определите область определения до любых сокращений.
Преобразуйте формулу; раскройте модули по промежуткам их знака.
Найдите вершины, границы частей и несколько опорных точек.
Постройте график, различая закрашенные и выколотые точки.
Посчитайте общие точки для всех промежутков параметра и отдельно на их границах.
Проверьте ответ по формулам и запишите все подходящие значения.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

График функции состоит из точек $(x;f(x))$ , где x входит в область определения.
Вершина параболы $y=ax^2+bx+c$ имеет абсциссу $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ .
Прямая $y=m$ горизонтальна, а прямая $y=kx$ проходит через начало координат.
Раскрытие модуля зависит от знака выражения под ним; сокращение дроби не меняет исходные ограничения.
Касание, соединение частей и выколотая точка могут изменить число общих точек на граничном уровне.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Сократить дробь и забыть отметить запрещённый x выколотой точкой.
Построить целую параболу или прямую вместо заданной части.
Не проверить, входит ли конец промежутка в график.
Посчитать соединяющую точку двух частей дважды или засчитать выколотую точку.
Проверить только отдельные удобные значения параметра и пропустить границы или другие промежутки.

Все задания №22 (157)

Функция с модулем: две общие точки

Сначала решите на бумаге

Решаем и оформляем задание №22

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

1Читаем условия построения

2Преобразуем формулу и раскрываем модуль

3Строим часть параболы y=−x2−2xy=- x^{2} - 2 xy=−x2−2x

4Строим часть параболы y=x2−4xy=x^{2} - 4 xy=x2−4x

5Отмечаем границы и собираем график

График и прямые с параметром

6Считаем общие точки и проверяем границы

7Проверяем выбранные значения

8Записываем полный ответ

Что проверяет эксперт в задании №22

Сверьте свою запись

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Читаем условия построения

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Строим часть параболы $y=- x^{2} - 2 x$

Строим часть параболы $y=x^{2} - 4 x$

Отмечаем границы и собираем график

Считаем общие точки и проверяем границы

Проверяем выбранные значения

Записываем полный ответ