ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ 34C6D0105 из 157

Модуль и парабола: три общие точки

Постройте график функции

$y = 3 | x + 7 | - x^{2} - 13 x - 42$ .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 34C6D0.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Получаем:

y=\begin{cases}- x^{2} - 16 x - 63,&x<-7.\\- x^{2} - 10 x - 21,&x\geq-7.\end{cases}

Для $y=- x^{2} - 16 x - 63$ :

y=1 - (x + 8)^{2}

Вершина полной параболы $(-8;1)$ входит в нужную часть.

Для $y=- x^{2} - 10 x - 21$ :

y=4 - (x + 5)^{2}

Вершина полной параболы $(-5;4)$ входит в нужную часть.

$A(-8;1)$ — закрашенная; $B(-7;0)$ — закрашенная; $C(-5;4)$ — закрашенная.

$График функции из задания ФИПИ 34C6D0. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=1$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

По графику считаем число пересечений $N$ с прямой $y=m$ :

m\in(4;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=0

m\in\{4\}\quad\Longrightarrow\quad N=1

m\in(-\infty;0)\cup(1;4)\quad\Longrightarrow\quad N=2

m\in\{0;\;1\}\quad\Longrightarrow\quad N=3

m\in(0;1)\quad\Longrightarrow\quad N=4

Ответ: $m\in\{0;\;1\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

Идея решения

После раскрытия модуля получим две части парабол с ветвями вниз. Построим вершины и точку соединения, затем проверим уровни, на которых остаются три общие точки.

Что строим: $y=- x^{2} - 13 x + 3 |{x + 7}| - 42$
Семейство прямых: $y=m$
Ограничения: Все действительные x; для каждой части соблюдаем её промежуток.

Читаем условия построения

Функция определена при всех действительных x. Если формул несколько, каждая действует только на своём промежутке.

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y

=- x^{2}

- 13 x

+ 3 (- x - 7)

- 42

=- x^{2}

- 16 x

- 63

При $x<-7$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y

=- x^{2}

- 13 x

+ 3 (x + 7)

- 42

=- x^{2}

- 10 x

- 21

При $x\geq-7$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y=\begin{cases}- x^{2} - 16 x - 63,&x<-7.\\- x^{2} - 10 x - 21,&x\geq-7.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим часть параболы $y=- x^{2} - 16 x - 63$

Коэффициент при x² равен $-1$ , поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых $x\in(-\infty;-7)$ .

x_0

=-\frac{-16}{2\cdot(-1)}

=-8

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(-1)

\cdot(-8)^2

+(-16)

\cdot(-8)

+(-63)

=1

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=1

- (x + 8)^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&-9&-8&- \frac{15}{2}\\\hline y&0&1&\frac{3}{4}\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Строим часть параболы $y=- x^{2} - 10 x - 21$

Коэффициент при x² равен $-1$ , поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых $x\in[-7;\infty)$ .

x_0

=-\frac{-10}{2\cdot(-1)}

=-5

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(-1)

\cdot(-5)^2

+(-10)

\cdot(-5)

+(-21)

=4

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=4

- (x + 5)^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&-6&-5&-4\\\hline y&3&4&3\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(-8;1)$ — закрашенная; $B(-7;0)$ — закрашенная; $C(-5;4)$ — закрашенная.

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=1$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ 34C6D0 с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(-8;1)) — закрашенная; (B(-7;0)) — закрашенная; (C(-5;4)) — закрашенная. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

Обозначим через $N$ число общих точек. Передвигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения со всеми частями графика. На граничных уровнях учитываем закрашенные точки и не учитываем выколотые.

m\in(4;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N

=0