Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ 32AB1220 из 157

График с модулем и выколотой точкой

Постройте график функции

y= ( x 2 +x )⋅| x | x+1 .

Определите, при каких значениях m  прямая y=m  не имеет с графиком ни одной общей точки.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 32AB12.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения mm, при которых нет общих точек.

Идея решения

Сначала запретим нуль знаменателя. Сократим дробь и раскроем модуль. Удалённая точка остаётся выколотой; её уровень нужно проверить отдельно.

Что строим
y=(x2+x)∣x∣x+1y=\dfrac{(x^{2} + x) |{x}|}{x + 1}
Семейство прямых
y=my=m
Ограничения
x≠−1x\ne-1

Находим область определения

До сокращения дробей найдём нули исходных знаменателей. Эти значения запрещены и после преобразований.

xx +1≠0+ 1\ne0

Исходный знаменатель не должен обращаться в нуль.

x≠x\ne−1-1

Запоминаем все ограничения исходной функции.

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

yy=x(x+1)∣x∣x+1=\frac{x (x + 1) |{x}|}{x + 1}=x∣x∣=x |{x}|

Разлагаем на множители и сокращаем общий множитель только при сохранённом ОДЗ.

y={−x2,x<0.x2,x≥0.y=\begin{cases}- x^{2},&x<0.\\x^{2},&x\geq0.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим часть параболы y=−x2y=- x^{2}

Коэффициент при x² равен −1-1, поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых x∈(−∞;0)x\in(-\infty;0).

x0x_0=−02⋅(−1)=-\frac{0}{2\cdot(-1)}=0=0

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y0y_0=(−1)=(-1)⋅02\cdot0^2+0+0⋅0\cdot0+0+0=0=0

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

yy=−x2=- x^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

x−3−2−12y−9−4−14\begin{array}{c|ccc}x&-3&-2&- \frac{1}{2}\\\hline y&-9&-4&- \frac{1}{4}\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Строим часть параболы y=x2y=x^{2}

Коэффициент при x² равен 11, поэтому ветви направлены вверх. Оставляем точки, для которых x∈[0;∞)x\in[0;\infty).

x0x_0=−02⋅1=-\frac{0}{2\cdot1}=0=0

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y0y_0=1=1⋅02\cdot0^2+0+0⋅0\cdot0+0+0=0=0

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

yy=x2=x^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

x0121y0141\begin{array}{c|ccc}x&0&\frac{1}{2}&1\\\hline y&0&\frac{1}{4}&1\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. A(−1;−1)A(-1;-1) — выколотая; B(0;0)B(0;0) — закрашенная.

Пунктиром показаны прямая y=−1y=-1. Это пример положения прямой; полный ответ записан ниже.

График и прямые с параметром

График функции из задания ФИПИ 32AB12 с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(-1;-1)) — выколотая; (B(0;0)) — закрашенная.
Обозначения на графике
  • y=−x2y=- x^{2}
  • y=x2y=x^{2}
  • Пунктир — примеры прямых с параметром; полный набор значений приведён в решении.
Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.
Открыть график крупнее ↗

Считаем общие точки и проверяем границы

Сокращённая функция y=x∣x∣y=x |{x}| строго возрастает и принимает все действительные значения. Каждая горизонтальная прямая пересекает её один раз. После удаления точки исчезает только её уровень.

y(−1)y(-1)=1=1⋅(−1)\cdot(-1)⋅∣−1∣\cdot|-1|=−1=-1

Вычисляем ординату удалённой точки на сокращённом графике.

m∈{−1}⟹Nm\in\{-1\}\quad\Longrightarrow\quad N=0=0

Число общих точек на указанных уровнях.

m∈(−∞;−1)∪(−1;∞)⟹Nm\in(-\infty;-1)\cup(-1;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=1=1

Число общих точек на указанных уровнях.

Запись y в вычислении относится к вспомогательной сокращённой функции: исходная функция при запрещённом x не определена.

Проверяем выбранные значения

Проверим показанные на рисунке прямые по формулам. Каждый корень учитываем только на его участке; общие границы не считаем дважды.

mm=−1⟹N=-1\quad\Longrightarrow\quad N=0=0

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

Полный разбор всех промежутков и граничных значений приведён выше, поэтому отдельные примеры не подменяют доказательство полноты ответа.

Записываем полный ответ

Построить график и найти все значения mm, при которых нет общих точек.

m∈{−1}m\in\{-1\}

Учитываем все найденные значения и правильно ставим скобки у границ промежутков.

Что проверяет эксперт в задании №22

За задание можно получить до 2 баллов. В материалах ФИПИ оцениваются построение графика и полный ответ на вопрос задачи.

2 балла
График построен верно и получен правильный ответ: найдены все требуемые значения параметра либо наибольшее число общих точек.
1 балл
График построен верно, но ответ на вопрос задачи неверен или отсутствует.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Один ответ без правильно построенного графика недостаточен.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026, страница 25. Решения и образцы записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, графики, исходные ограничения и все значения параметра. Ответы сверены двумя независимыми способами.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определите область определения до любых сокращений.
  2. Преобразуйте формулу; раскройте модули по промежуткам их знака.
  3. Найдите вершины, границы частей и несколько опорных точек.
  4. Постройте график, различая закрашенные и выколотые точки.
  5. Посчитайте общие точки для всех промежутков параметра и отдельно на их границах.
  6. Проверьте ответ по формулам и запишите все подходящие значения.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • График функции состоит из точек (x;f(x))(x;f(x)), где x входит в область определения.
  • Вершина параболы y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c имеет абсциссу x0=−b2ax_0=-\dfrac{b}{2a}.
  • Прямая y=my=m горизонтальна, а прямая y=kxy=kx проходит через начало координат.
  • Раскрытие модуля зависит от знака выражения под ним; сокращение дроби не меняет исходные ограничения.
  • Касание, соединение частей и выколотая точка могут изменить число общих точек на граничном уровне.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Сократить дробь и забыть отметить запрещённый x выколотой точкой.
  • Построить целую параболу или прямую вместо заданной части.
  • Не проверить, входит ли конец промежутка в график.
  • Посчитать соединяющую точку двух частей дважды или засчитать выколотую точку.
  • Проверить только отдельные удобные значения параметра и пропустить границы или другие промежутки.
Все задания №22 (157)