ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ 2029CA124 из 157

Сдвинутая гипербола: нет общих точек

Постройте график функции

$y = 1 - \frac{x + 5}{x^{2} + 5 x}$ .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 2029CA.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Область определения:

x\ne-5,\quad x\ne0

Сократим дробь, сохраняя ограничения:

y=1-\frac{x + 5}{x (x + 5)}=\frac{x - 1}{x}

Для $y=\frac{x - 1}{x}$ :

\begin{array}{c|ccc}x&-2&-1&1\\\hline y&\frac{3}{2}&2&0\end{array}

$A(-5;\frac{6}{5})$ — выколотая.

$График функции из задания ФИПИ 2029CA. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямые $y=1$ , $y=\frac{6}{5}$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

На уровне асимптоты $m=1$ решений нет. На остальных уровнях проверяем единственный корень: он не должен совпасть с $x=-5$ .

x=\frac1{1-m}

m=1-\frac1{-5}=\frac{6}{5}

Ответ: $m\in\{1;\;\frac{6}{5}\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $m$ , при которых нет общих точек.

Идея решения

После сокращения получится сдвинутая гипербола. Отдельно проверим её горизонтальную асимптоту и уровень выколотой точки.

Что строим: $y=\dfrac{- x - 5}{x^{2} + 5 x} + 1$
Семейство прямых: $y=m$
Ограничения: $x\ne-5,\quad x\ne0$

Находим область определения

До сокращения дробей найдём нули исходных знаменателей. Эти значения запрещены и после преобразований.

x^{2}

+ 5 x\ne0

Исходный знаменатель не должен обращаться в нуль.

x\ne

-5,\quad x\ne0

Запоминаем все ограничения исходной функции.

Получаем удобные формулы для построения

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y

=1

-\frac{x + 5}{x (x + 5)}

=\frac{x - 1}{x}

Разлагаем на множители и сокращаем общий множитель только при сохранённом ОДЗ.

Строим ветвь гиперболы $y=\dfrac{x - 1}{x}$

Вычислим несколько точек. К оси x или сдвинутой горизонтальной прямой гипербола приближается, но не обязана её пересекать. Оставляем точки, для которых $x\in\mathbb{R}$ .

\begin{array}{c|ccc}x&-2&-1&1\\\hline y&\frac{3}{2}&2&0\end{array}

Вычисляем значения по формуле на допустимых x.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(-5;\dfrac{6}{5})$ — выколотая.

Пунктиром показаны прямые $y=1$ , $y=\dfrac{6}{5}$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ 2029CA с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(-5;frac{6}{5})) — выколотая. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

1

-\frac1x

=m

Ищем общую точку гиперболы и горизонтальной прямой.

x

=\frac1{1-m}

Если m не равно уровню горизонтальной асимптоты, уравнение имеет единственный корень.

m

=1

-\frac1{-5}

=\frac{6}{5}

Этот корень запрещён, когда попадает в выколотую точку.

m\in\{1;\;\frac{6}{5}\}\quad\Longrightarrow\quad N

=0

Число общих точек на указанных уровнях.

m\in(-\infty;1)\cup(1;\frac{6}{5})\cup(\frac{6}{5};\infty)\quad\Longrightarrow\quad N

=1

Число общих точек на указанных уровнях.

При всех других m корень существует и допустим, значит, дополнительных значений в ответе нет.

Проверяем выбранные значения

Проверим показанные на рисунке прямые по формулам. Каждый корень учитываем только на его участке; общие границы не считаем дважды.

m

=1\quad\Longrightarrow\quad N

=0

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

m

=\frac{6}{5}\quad\Longrightarrow\quad N

=0

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

Полный разбор всех промежутков и граничных значений приведён выше, поэтому отдельные примеры не подменяют доказательство полноты ответа.

Записываем полный ответ

Построить график и найти все значения $m$ , при которых нет общих точек.

m\in\{1;\;\frac{6}{5}\}

Учитываем все найденные значения и правильно ставим скобки у границ промежутков.

Что проверяет эксперт в задании №22

За задание можно получить до 2 баллов. В материалах ФИПИ оцениваются построение графика и полный ответ на вопрос задачи.

2 балла: График построен верно и получен правильный ответ: найдены все требуемые значения параметра либо наибольшее число общих точек.
1 балл: График построен верно, но ответ на вопрос задачи неверен или отсутствует.
0 баллов: Решение не отвечает указанным критериям. Один ответ без правильно построенного графика недостаточен.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026, страница 25. Решения и образцы записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Все части графика построены на своих промежутках; вершины и опорные точки вычислены верно.Выколотые точки, включённые границы и асимптоты учтены при подсчёте общих точек.Проверены промежутки и их границы; записан полный ответ с правильными знаками и скобками.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, графики, исходные ограничения и все значения параметра. Ответы сверены двумя независимыми способами.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Определите область определения до любых сокращений.
Преобразуйте формулу; раскройте модули по промежуткам их знака.
Найдите вершины, границы частей и несколько опорных точек.
Постройте график, различая закрашенные и выколотые точки.
Посчитайте общие точки для всех промежутков параметра и отдельно на их границах.
Проверьте ответ по формулам и запишите все подходящие значения.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

График функции состоит из точек $(x;f(x))$ , где x входит в область определения.
Вершина параболы $y=ax^2+bx+c$ имеет абсциссу $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ .
Прямая $y=m$ горизонтальна, а прямая $y=kx$ проходит через начало координат.
Раскрытие модуля зависит от знака выражения под ним; сокращение дроби не меняет исходные ограничения.
Касание, соединение частей и выколотая точка могут изменить число общих точек на граничном уровне.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Сократить дробь и забыть отметить запрещённый x выколотой точкой.
Построить целую параболу или прямую вместо заданной части.
Не проверить, входит ли конец промежутка в график.
Посчитать соединяющую точку двух частей дважды или засчитать выколотую точку.
Проверить только отдельные удобные значения параметра и пропустить границы или другие промежутки.

Все задания №22 (157)

Сдвинутая гипербола: нет общих точек

Сначала решите на бумаге

Решаем и оформляем задание №22

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

1Находим область определения

2Получаем удобные формулы для построения

3Строим ветвь гиперболы y=x−1xy=\dfrac{x - 1}{x}y=xx−1​

4Отмечаем границы и собираем график

График и прямые с параметром

5Считаем общие точки и проверяем границы

6Проверяем выбранные значения

7Записываем полный ответ