ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ 32C5AB31 из 157

Модуль и парабола: три общие точки

Постройте график функции

$y = 2 | x - 5 | - x^{2} + 11 x - 30$ .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 32C5AB.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Получаем:

y=\begin{cases}- x^{2} + 9 x - 20,&x<5.\\- x^{2} + 13 x - 40,&x\geq5.\end{cases}

Для $y=- x^{2} + 9 x - 20$ :

y=\frac{1}{4} - (x - \frac{9}{2})^{2}

Вершина полной параболы $(\frac{9}{2};\frac{1}{4})$ входит в нужную часть.

Для $y=- x^{2} + 13 x - 40$ :

y=\frac{9}{4} - (x - \frac{13}{2})^{2}

Вершина полной параболы $(\frac{13}{2};\frac{9}{4})$ входит в нужную часть.

$A(\frac{9}{2};\frac{1}{4})$ — закрашенная; $B(5;0)$ — закрашенная; $C(\frac{13}{2};\frac{9}{4})$ — закрашенная.

$График функции из задания ФИПИ 32C5AB. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=\frac{1}{4}$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

По графику считаем число пересечений $N$ с прямой $y=m$ :

m\in(\frac{9}{4};\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=0

m\in\{\frac{9}{4}\}\quad\Longrightarrow\quad N=1

m\in(-\infty;0)\cup(\frac{1}{4};\frac{9}{4})\quad\Longrightarrow\quad N=2

m\in\{0;\;\frac{1}{4}\}\quad\Longrightarrow\quad N=3

m\in(0;\frac{1}{4})\quad\Longrightarrow\quad N=4

Ответ: $m\in\{0;\;\frac{1}{4}\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

Идея решения

После раскрытия модуля получим две части парабол с ветвями вниз. Построим вершины и точку соединения, затем проверим уровни, на которых остаются три общие точки.

Что строим: $y=- x^{2} + 11 x + 2 |{x - 5}| - 30$
Семейство прямых: $y=m$
Ограничения: Все действительные x; для каждой части соблюдаем её промежуток.

Читаем условия построения

Функция определена при всех действительных x. Если формул несколько, каждая действует только на своём промежутке.

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y

=- x^{2}

+ 11 x

+ 2 (5 - x)

- 30

=- x^{2}

+ 9 x

- 20

При $x<5$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y

=- x^{2}

+ 11 x

+ 2 (x - 5)

- 30

=- x^{2}

+ 13 x

- 40

При $x\geq5$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y=\begin{cases}- x^{2} + 9 x - 20,&x<5.\\- x^{2} + 13 x - 40,&x\geq5.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим часть параболы $y=- x^{2} + 9 x - 20$

Коэффициент при x² равен $-1$ , поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых $x\in(-\infty;5)$ .

x_0

=-\frac{9}{2\cdot(-1)}

=\frac{9}{2}

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(-1)

\cdot(\frac{9}{2})^2

+9

\cdot(\frac{9}{2})

+(-20)

=\frac{1}{4}

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=\frac{1}{4}

- (x - \frac{9}{2})^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&\frac{7}{2}&4&\frac{9}{2}\\\hline y&- \frac{3}{4}&0&\frac{1}{4}\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Строим часть параболы $y=- x^{2} + 13 x - 40$

Коэффициент при x² равен $-1$ , поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых $x\in[5;\infty)$ .

x_0

=-\frac{13}{2\cdot(-1)}

=\frac{13}{2}

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(-1)

\cdot(\frac{13}{2})^2

+13

\cdot(\frac{13}{2})

+(-40)

=\frac{9}{4}

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=\frac{9}{4}

- (x - \frac{13}{2})^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&6&\frac{13}{2}&7\\\hline y&2&\frac{9}{4}&2\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(\dfrac{9}{2};\dfrac{1}{4})$ — закрашенная; $B(5;0)$ — закрашенная; $C(\dfrac{13}{2};\dfrac{9}{4})$ — закрашенная.

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=\dfrac{1}{4}$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ 32C5AB с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(frac{9}{2};frac{1}{4})) — закрашенная; (B(5;0)) — закрашенная; (C(frac{13}{2};frac{9}{4})) — закрашенная. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

Обозначим через $N$ число общих точек. Передвигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения со всеми частями графика. На граничных уровнях учитываем закрашенные точки и не учитываем выколотые.

m\in(\frac{9}{4};\infty)\quad\Longrightarrow\quad N

=0