ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ 35020B65 из 157

Модуль и парабола: три общие точки

Постройте график функции

$y = 5 | x - 2 | - x^{2} + 5 x - 6$ .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 35020B.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Получаем:

y=\begin{cases}4 - x^{2},&x<2.\\- x^{2} + 10 x - 16,&x\geq2.\end{cases}

Для $y=4 - x^{2}$ :

y=4 - x^{2}

Вершина полной параболы $(0;4)$ входит в нужную часть.

Для $y=- x^{2} + 10 x - 16$ :

y=9 - (x - 5)^{2}

Вершина полной параболы $(5;9)$ входит в нужную часть.

$A(0;4)$ — закрашенная; $B(2;0)$ — закрашенная; $C(5;9)$ — закрашенная.

$График функции из задания ФИПИ 35020B. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=4$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

По графику считаем число пересечений $N$ с прямой $y=m$ :

m\in(9;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=0

m\in\{9\}\quad\Longrightarrow\quad N=1

m\in(-\infty;0)\cup(4;9)\quad\Longrightarrow\quad N=2

m\in\{0;\;4\}\quad\Longrightarrow\quad N=3

m\in(0;4)\quad\Longrightarrow\quad N=4

Ответ: $m\in\{0;\;4\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

Идея решения

После раскрытия модуля получим две части парабол с ветвями вниз. Построим вершины и точку соединения, затем проверим уровни, на которых остаются три общие точки.

Что строим: $y=- x^{2} + 5 x + 5 |{x - 2}| - 6$
Семейство прямых: $y=m$
Ограничения: Все действительные x; для каждой части соблюдаем её промежуток.

Читаем условия построения

Функция определена при всех действительных x. Если формул несколько, каждая действует только на своём промежутке.

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y

=- x^{2}

+ 5 x

+ 5 (2 - x)

- 6

=4

- x^{2}

При $x<2$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y

=- x^{2}

+ 5 x

+ 5 (x - 2)

- 6

=- x^{2}

+ 10 x

- 16

При $x\geq2$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y=\begin{cases}4 - x^{2},&x<2.\\- x^{2} + 10 x - 16,&x\geq2.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим часть параболы $y=4 - x^{2}$

Коэффициент при x² равен $-1$ , поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых $x\in(-\infty;2)$ .

x_0

=-\frac{0}{2\cdot(-1)}

=0

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(-1)

\cdot0^2

+0

\cdot0

+4

=4

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=4

- x^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&-1&0&1\\\hline y&3&4&3\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Строим часть параболы $y=- x^{2} + 10 x - 16$

Коэффициент при x² равен $-1$ , поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых $x\in[2;\infty)$ .

x_0

=-\frac{10}{2\cdot(-1)}

=5

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(-1)

\cdot5^2

+10

\cdot5

+(-16)

=9

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=9

- (x - 5)^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&4&5&6\\\hline y&8&9&8\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(0;4)$ — закрашенная; $B(2;0)$ — закрашенная; $C(5;9)$ — закрашенная.

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=4$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ 35020B с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(0;4)) — закрашенная; (B(2;0)) — закрашенная; (C(5;9)) — закрашенная. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

Обозначим через $N$ число общих точек. Передвигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения со всеми частями графика. На граничных уровнях учитываем закрашенные точки и не учитываем выколотые.

m\in(9;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N

=0