ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ 91BF5528 из 157

Парабола и модуль: три общие точки

Постройте график функции $y = x^{2} - 7 x - 5 | x - 3 | + 12$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 91BF55.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Получаем:

y=\begin{cases}x^{2} - 2 x - 3,&x<3.\\x^{2} - 12 x + 27,&x\geq3.\end{cases}

Для $y=x^{2} - 2 x - 3$ :

y=(x - 1)^{2} - 4

Вершина полной параболы $(1;-4)$ входит в нужную часть.

Для $y=x^{2} - 12 x + 27$ :

y=(x - 6)^{2} - 9

Вершина полной параболы $(6;-9)$ входит в нужную часть.

$A(1;-4)$ — закрашенная; $B(3;0)$ — закрашенная; $C(6;-9)$ — закрашенная.

$График функции из задания ФИПИ 91BF55. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=-4$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

По графику считаем число пересечений $N$ с прямой $y=m$ :

m\in(-\infty;-9)\quad\Longrightarrow\quad N=0

m\in\{-9\}\quad\Longrightarrow\quad N=1

m\in(-9;-4)\cup(0;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=2

m\in\{-4;\;0\}\quad\Longrightarrow\quad N=3

m\in(-4;0)\quad\Longrightarrow\quad N=4

Ответ: $m\in\{-4;\;0\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

Идея решения

Раскроем модуль слева и справа от его нуля. Получатся две части парабол. Отметим обе вершины и точку соединения: на этих уровнях может меняться число пересечений.

Что строим: $y=x^{2} - 7 x - 5 |{x - 3}| + 12$
Семейство прямых: $y=m$
Ограничения: Все действительные x; для каждой части соблюдаем её промежуток.

Читаем условия построения

Функция определена при всех действительных x. Если формул несколько, каждая действует только на своём промежутке.

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y

=x^{2}

- 7 x

- 5 (3 - x)

+ 12

=x^{2}

- 2 x

- 3

При $x<3$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y

=x^{2}

- 7 x

- 5 (x - 3)

+ 12

=x^{2}

- 12 x

+ 27

При $x\geq3$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y=\begin{cases}x^{2} - 2 x - 3,&x<3.\\x^{2} - 12 x + 27,&x\geq3.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим часть параболы $y=x^{2} - 2 x - 3$

Коэффициент при x² равен $1$ , поэтому ветви направлены вверх. Оставляем точки, для которых $x\in(-\infty;3)$ .

x_0

=-\frac{-2}{2\cdot1}

=1

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=1

\cdot1^2

+(-2)

\cdot1

+(-3)

=-4

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=(x - 1)^{2}

- 4

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&0&1&2\\\hline y&-3&-4&-3\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Строим часть параболы $y=x^{2} - 12 x + 27$

Коэффициент при x² равен $1$ , поэтому ветви направлены вверх. Оставляем точки, для которых $x\in[3;\infty)$ .

x_0

=-\frac{-12}{2\cdot1}

=6

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=1

\cdot6^2

+(-12)

\cdot6

+27

=-9

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=(x - 6)^{2}

- 9

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&5&6&7\\\hline y&-8&-9&-8\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(1;-4)$ — закрашенная; $B(3;0)$ — закрашенная; $C(6;-9)$ — закрашенная.

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=-4$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ 91BF55 с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(1;-4)) — закрашенная; (B(3;0)) — закрашенная; (C(6;-9)) — закрашенная. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

Обозначим через $N$ число общих точек. Передвигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения со всеми частями графика. На граничных уровнях учитываем закрашенные точки и не учитываем выколотые.

m\in(-\infty;-9)\quad\Longrightarrow\quad N

=0