ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ B817D523 из 157

Модуль и парабола: три общие точки

Постройте график функции

$y = 4 | x + 2 | - x^{2} - 3 x - 2$ .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание B817D5.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Получаем:

y=\begin{cases}- x^{2} - 7 x - 10,&x<-2.\\- x^{2} + x + 6,&x\geq-2.\end{cases}

Для $y=- x^{2} - 7 x - 10$ :

y=\frac{9}{4} - (x + \frac{7}{2})^{2}

Вершина полной параболы $(- \frac{7}{2};\frac{9}{4})$ входит в нужную часть.

Для $y=- x^{2} + x + 6$ :

y=\frac{25}{4} - (x - \frac{1}{2})^{2}

Вершина полной параболы $(\frac{1}{2};\frac{25}{4})$ входит в нужную часть.

$A(- \frac{7}{2};\frac{9}{4})$ — закрашенная; $B(-2;0)$ — закрашенная; $C(\frac{1}{2};\frac{25}{4})$ — закрашенная.

$График функции из задания ФИПИ B817D5. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=\frac{9}{4}$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

По графику считаем число пересечений $N$ с прямой $y=m$ :

m\in(\frac{25}{4};\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=0

m\in\{\frac{25}{4}\}\quad\Longrightarrow\quad N=1

m\in(-\infty;0)\cup(\frac{9}{4};\frac{25}{4})\quad\Longrightarrow\quad N=2

m\in\{0;\;\frac{9}{4}\}\quad\Longrightarrow\quad N=3

m\in(0;\frac{9}{4})\quad\Longrightarrow\quad N=4

Ответ: $m\in\{0;\;\frac{9}{4}\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

Идея решения

После раскрытия модуля получим две части парабол с ветвями вниз. Построим вершины и точку соединения, затем проверим уровни, на которых остаются три общие точки.

Что строим: $y=- x^{2} - 3 x + 4 |{x + 2}| - 2$
Семейство прямых: $y=m$
Ограничения: Все действительные x; для каждой части соблюдаем её промежуток.

Читаем условия построения

Функция определена при всех действительных x. Если формул несколько, каждая действует только на своём промежутке.

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y

=- x^{2}

- 3 x

+ 4 (- x - 2)

- 2

=- x^{2}

- 7 x

- 10

При $x<-2$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y

=- x^{2}

- 3 x

+ 4 (x + 2)

- 2

=- x^{2}

+ x

+ 6

При $x\geq-2$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y=\begin{cases}- x^{2} - 7 x - 10,&x<-2.\\- x^{2} + x + 6,&x\geq-2.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим часть параболы $y=- x^{2} - 7 x - 10$

Коэффициент при x² равен $-1$ , поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых $x\in(-\infty;-2)$ .

x_0

=-\frac{-7}{2\cdot(-1)}

=- \frac{7}{2}

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(-1)

\cdot(- \frac{7}{2})^2

+(-7)

\cdot(- \frac{7}{2})

+(-10)

=\frac{9}{4}

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=\frac{9}{4}

- (x + \frac{7}{2})^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&-4&- \frac{7}{2}&-3\\\hline y&2&\frac{9}{4}&2\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Строим часть параболы $y=- x^{2} + x + 6$

Коэффициент при x² равен $-1$ , поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых $x\in[-2;\infty)$ .

x_0

=-\frac{1}{2\cdot(-1)}

=\frac{1}{2}

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(-1)

\cdot(\frac{1}{2})^2

+1

\cdot(\frac{1}{2})

+6

=\frac{25}{4}

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=\frac{25}{4}

- (x - \frac{1}{2})^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&0&\frac{1}{2}&1\\\hline y&6&\frac{25}{4}&6\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(- \dfrac{7}{2};\dfrac{9}{4})$ — закрашенная; $B(-2;0)$ — закрашенная; $C(\dfrac{1}{2};\dfrac{25}{4})$ — закрашенная.

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=\dfrac{9}{4}$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ B817D5 с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(- frac{7}{2};frac{9}{4})) — закрашенная; (B(-2;0)) — закрашенная; (C(frac{1}{2};frac{25}{4})) — закрашенная. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

Обозначим через $N$ число общих точек. Передвигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения со всеми частями графика. На граничных уровнях учитываем закрашенные точки и не учитываем выколотые.

m\in(\frac{25}{4};\infty)\quad\Longrightarrow\quad N

=0