ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ AB4DF351 из 157

Модуль и выколотые точки: прямая y = kx

Постройте график функции

$y = \frac{2 | x | - 1}{| x | - 2 x^{2}}$ .

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = k x$ не имеет с графиком общих точек.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание AB4DF3.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Область определения:

x\ne- \frac{1}{2},\quad x\ne0,\quad x\ne\frac{1}{2}

Сократим дробь, сохраняя ограничения:

y=\frac{2 |{x}| - 1}{|x|\,(1-2|x|)}=- \frac{1}{|{x}|}

Получаем:

y=\begin{cases}\frac{1}{x},&x<0.\\- \frac{1}{x},&x>0.\end{cases}

Для $y=\frac{1}{x}$ :

\begin{array}{c|ccc}x&-3&-2&-1\\\hline y&- \frac{1}{3}&- \frac{1}{2}&-1\end{array}

Для $y=- \frac{1}{x}$ :

\begin{array}{c|ccc}x&1&2&3\\\hline y&-1&- \frac{1}{2}&- \frac{1}{3}\end{array}

$A(- \frac{1}{2};-2)$ — выколотая; $B(\frac{1}{2};-2)$ — выколотая.

$График функции из задания ФИПИ AB4DF3. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=- 4 x$ , $y=4 x$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

При $k=0$ прямая совпадает с осью x, а функция всюду отрицательна. При ненулевом k обычно есть одна точка; она исчезает только в выколотом месте.

k>0:\quad x=-\frac1{\sqrt{k}}

k<0:\quad x=\frac1{\sqrt{-k}}

k=\pm\frac1{(\frac{1}{2})^2}=\pm4

Ответ: $k\in\{-4;\;0;\;4\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $k$ , при которых нет общих точек.

Идея решения

Найдём все нули знаменателя, затем преобразуем функцию к двум ветвям гиперболы. Разберём прямые через начало координат по знаку k и проверим выколотые точки.

Что строим: $y=\dfrac{2 |{x}| - 1}{- 2 x^{2} + |{x}|}$
Семейство прямых: $y=kx$
Ограничения: $x\ne- \dfrac{1}{2},\quad x\ne0,\quad x\ne\dfrac{1}{2}$

Находим область определения

До сокращения дробей найдём нули исходных знаменателей. Эти значения запрещены и после преобразований.

- 2 x^{2}

+ |{x}|\ne0

Исходный знаменатель не должен обращаться в нуль.

x\ne

- \frac{1}{2},\quad x\ne0,\quad x\ne\frac{1}{2}

Запоминаем все ограничения исходной функции.

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y

=\frac{2 |{x}| - 1}{|x|\,(1-2|x|)}

=- \frac{1}{|{x}|}

Разлагаем на множители и сокращаем общий множитель только при сохранённом ОДЗ.

y=\begin{cases}\frac{1}{x},&x<0.\\- \frac{1}{x},&x>0.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим ветвь гиперболы $y=\dfrac{1}{x}$

Вычислим несколько точек. К оси x или сдвинутой горизонтальной прямой гипербола приближается, но не обязана её пересекать. Оставляем точки, для которых $x\in(-\infty;0)$ .

\begin{array}{c|ccc}x&-3&-2&-1\\\hline y&- \frac{1}{3}&- \frac{1}{2}&-1\end{array}

Вычисляем значения по формуле на допустимых x.

Строим ветвь гиперболы $y=- \dfrac{1}{x}$

Вычислим несколько точек. К оси x или сдвинутой горизонтальной прямой гипербола приближается, но не обязана её пересекать. Оставляем точки, для которых $x\in(0;\infty)$ .

\begin{array}{c|ccc}x&1&2&3\\\hline y&-1&- \frac{1}{2}&- \frac{1}{3}\end{array}

Вычисляем значения по формуле на допустимых x.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(- \dfrac{1}{2};-2)$ — выколотая; $B(\dfrac{1}{2};-2)$ — выколотая.

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=- 4 x$ , $y=4 x$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ AB4DF3 с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(- frac{1}{2};-2)) — выколотая; (B(frac{1}{2};-2)) — выколотая. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

-\frac1{|x|}

=kx

Уравнение общей точки.

k>0:\quad x

=-\frac1{\sqrt{k}}

Положительный наклон даёт единственную точку на левой ветви.

k<0:\quad x

=\frac1{\sqrt{-k}}

Отрицательный наклон даёт единственную точку на правой ветви.

k

=\pm\frac1{(\frac{1}{2})^2}

=\pm4

Эти точки исчезают, когда корень совпадает с одним из запрещённых x.

k\in\{-4;\;0;\;4\}\quad\Longrightarrow\quad N

=0

Число общих точек на указанных уровнях.

k\in(-\infty;-4)\cup(-4;0)\cup(0;4)\cup(4;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N

=1

Число общих точек на указанных уровнях.

Оба выколотых места проверяем отдельно, поэтому учитываем оба знака k.

Проверяем выбранные значения

Проверим показанные на рисунке прямые по формулам. Каждый корень учитываем только на его участке; общие границы не считаем дважды.

k

=0\quad\Longrightarrow\quad N

=0

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

k

=-4\quad\Longrightarrow\quad N

=0

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

k

=4\quad\Longrightarrow\quad N

=0

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

Полный разбор всех промежутков и граничных значений приведён выше, поэтому отдельные примеры не подменяют доказательство полноты ответа.

Записываем полный ответ

Построить график и найти все значения $k$ , при которых нет общих точек.

k\in\{-4;\;0;\;4\}

Учитываем все найденные значения и правильно ставим скобки у границ промежутков.

Что проверяет эксперт в задании №22

За задание можно получить до 2 баллов. В материалах ФИПИ оцениваются построение графика и полный ответ на вопрос задачи.

2 балла: График построен верно и получен правильный ответ: найдены все требуемые значения параметра либо наибольшее число общих точек.
1 балл: График построен верно, но ответ на вопрос задачи неверен или отсутствует.
0 баллов: Решение не отвечает указанным критериям. Один ответ без правильно построенного графика недостаточен.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026, страница 25. Решения и образцы записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Все части графика построены на своих промежутках; вершины и опорные точки вычислены верно.Выколотые точки, включённые границы и асимптоты учтены при подсчёте общих точек.Проверены промежутки и их границы; записан полный ответ с правильными знаками и скобками.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, графики, исходные ограничения и все значения параметра. Ответы сверены двумя независимыми способами.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Определите область определения до любых сокращений.
Преобразуйте формулу; раскройте модули по промежуткам их знака.
Найдите вершины, границы частей и несколько опорных точек.
Постройте график, различая закрашенные и выколотые точки.
Посчитайте общие точки для всех промежутков параметра и отдельно на их границах.
Проверьте ответ по формулам и запишите все подходящие значения.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

График функции состоит из точек $(x;f(x))$ , где x входит в область определения.
Вершина параболы $y=ax^2+bx+c$ имеет абсциссу $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ .
Прямая $y=m$ горизонтальна, а прямая $y=kx$ проходит через начало координат.
Раскрытие модуля зависит от знака выражения под ним; сокращение дроби не меняет исходные ограничения.
Касание, соединение частей и выколотая точка могут изменить число общих точек на граничном уровне.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Сократить дробь и забыть отметить запрещённый x выколотой точкой.
Построить целую параболу или прямую вместо заданной части.
Не проверить, входит ли конец промежутка в график.
Посчитать соединяющую точку двух частей дважды или засчитать выколотую точку.
Проверить только отдельные удобные значения параметра и пропустить границы или другие промежутки.

Все задания №22 (157)

Модуль и выколотые точки: прямая y = kx

Сначала решите на бумаге

Решаем и оформляем задание №22

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

1Находим область определения

2Преобразуем формулу и раскрываем модуль

3Строим ветвь гиперболы y=1xy=\dfrac{1}{x}y=x1​

4Строим ветвь гиперболы y=−1xy=- \dfrac{1}{x}y=−x1​

5Отмечаем границы и собираем график

График и прямые с параметром

6Считаем общие точки и проверяем границы

7Проверяем выбранные значения

8Записываем полный ответ

Что проверяет эксперт в задании №22

Сверьте свою запись

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Находим область определения

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Строим ветвь гиперболы $y=\dfrac{1}{x}$

Строим ветвь гиперболы $y=- \dfrac{1}{x}$

Отмечаем границы и собираем график

Считаем общие точки и проверяем границы

Проверяем выбранные значения

Записываем полный ответ