ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ 7D78E635 из 157

Парабола и модуль: три общие точки

Постройте график функции $y = x^{2} + 13 x - 3 | x + 7 | + 42$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 7D78E6.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Получаем:

y=\begin{cases}x^{2} + 16 x + 63,&x<-7.\\x^{2} + 10 x + 21,&x\geq-7.\end{cases}

Для $y=x^{2} + 16 x + 63$ :

y=(x + 8)^{2} - 1

Вершина полной параболы $(-8;-1)$ входит в нужную часть.

Для $y=x^{2} + 10 x + 21$ :

y=(x + 5)^{2} - 4

Вершина полной параболы $(-5;-4)$ входит в нужную часть.

$A(-8;-1)$ — закрашенная; $B(-7;0)$ — закрашенная; $C(-5;-4)$ — закрашенная.

$График функции из задания ФИПИ 7D78E6. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=-1$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

По графику считаем число пересечений $N$ с прямой $y=m$ :

m\in(-\infty;-4)\quad\Longrightarrow\quad N=0

m\in\{-4\}\quad\Longrightarrow\quad N=1

m\in(-4;-1)\cup(0;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=2

m\in\{-1;\;0\}\quad\Longrightarrow\quad N=3

m\in(-1;0)\quad\Longrightarrow\quad N=4

Ответ: $m\in\{-1;\;0\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

Идея решения

Раскроем модуль слева и справа от его нуля. Получатся две части парабол. Отметим обе вершины и точку соединения: на этих уровнях может меняться число пересечений.

Что строим: $y=x^{2} + 13 x - 3 |{x + 7}| + 42$
Семейство прямых: $y=m$
Ограничения: Все действительные x; для каждой части соблюдаем её промежуток.

Читаем условия построения

Функция определена при всех действительных x. Если формул несколько, каждая действует только на своём промежутке.

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y

=x^{2}

+ 13 x

- 3 (- x - 7)

+ 42

=x^{2}

+ 16 x

+ 63

При $x<-7$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y

=x^{2}

+ 13 x

- 3 (x + 7)

+ 42

=x^{2}

+ 10 x

+ 21

При $x\geq-7$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y=\begin{cases}x^{2} + 16 x + 63,&x<-7.\\x^{2} + 10 x + 21,&x\geq-7.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим часть параболы $y=x^{2} + 16 x + 63$

Коэффициент при x² равен $1$ , поэтому ветви направлены вверх. Оставляем точки, для которых $x\in(-\infty;-7)$ .

x_0

=-\frac{16}{2\cdot1}

=-8

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=1

\cdot(-8)^2

+16

\cdot(-8)

+63

=-1

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=(x + 8)^{2}

- 1

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&-9&-8&- \frac{15}{2}\\\hline y&0&-1&- \frac{3}{4}\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Строим часть параболы $y=x^{2} + 10 x + 21$

Коэффициент при x² равен $1$ , поэтому ветви направлены вверх. Оставляем точки, для которых $x\in[-7;\infty)$ .

x_0

=-\frac{10}{2\cdot1}

=-5

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=1

\cdot(-5)^2

+10

\cdot(-5)

+21

=-4

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=(x + 5)^{2}

- 4

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&-6&-5&-4\\\hline y&-3&-4&-3\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(-8;-1)$ — закрашенная; $B(-7;0)$ — закрашенная; $C(-5;-4)$ — закрашенная.

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=-1$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ 7D78E6 с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(-8;-1)) — закрашенная; (B(-7;0)) — закрашенная; (C(-5;-4)) — закрашенная. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

Обозначим через $N$ число общих точек. Передвигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения со всеми частями графика. На граничных уровнях учитываем закрашенные точки и не учитываем выколотые.

m\in(-\infty;-4)\quad\Longrightarrow\quad N

=0