ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ 6755472 из 157

Парабола и модуль: три общие точки

Постройте график функции $y = x^{2} + 14 x - 3 | x + 8 | + 48$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 675547.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Получаем:

y=\begin{cases}x^{2} + 17 x + 72,&x<-8.\\x^{2} + 11 x + 24,&x\geq-8.\end{cases}

Для $y=x^{2} + 17 x + 72$ :

y=(x + \frac{17}{2})^{2} - \frac{1}{4}

Вершина полной параболы $(- \frac{17}{2};- \frac{1}{4})$ входит в нужную часть.

Для $y=x^{2} + 11 x + 24$ :

y=(x + \frac{11}{2})^{2} - \frac{25}{4}

Вершина полной параболы $(- \frac{11}{2};- \frac{25}{4})$ входит в нужную часть.

$A(- \frac{17}{2};- \frac{1}{4})$ — закрашенная; $B(-8;0)$ — закрашенная; $C(- \frac{11}{2};- \frac{25}{4})$ — закрашенная.

$График функции из задания ФИПИ 675547. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=- \frac{1}{4}$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

По графику считаем число пересечений $N$ с прямой $y=m$ :

m\in(-\infty;- \frac{25}{4})\quad\Longrightarrow\quad N=0

m\in\{- \frac{25}{4}\}\quad\Longrightarrow\quad N=1

m\in(- \frac{25}{4};- \frac{1}{4})\cup(0;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=2

m\in\{- \frac{1}{4};\;0\}\quad\Longrightarrow\quad N=3

m\in(- \frac{1}{4};0)\quad\Longrightarrow\quad N=4

Ответ: $m\in\{- \frac{1}{4};\;0\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

Идея решения

Раскроем модуль слева и справа от его нуля. Получатся две части парабол. Отметим обе вершины и точку соединения: на этих уровнях может меняться число пересечений.

Что строим: $y=x^{2} + 14 x - 3 |{x + 8}| + 48$
Семейство прямых: $y=m$
Ограничения: Все действительные x; для каждой части соблюдаем её промежуток.

Читаем условия построения

Функция определена при всех действительных x. Если формул несколько, каждая действует только на своём промежутке.

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y

=x^{2}

+ 14 x

- 3 (- x - 8)

+ 48

=x^{2}

+ 17 x

+ 72

При $x<-8$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y

=x^{2}

+ 14 x

- 3 (x + 8)

+ 48

=x^{2}

+ 11 x

+ 24

При $x\geq-8$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y=\begin{cases}x^{2} + 17 x + 72,&x<-8.\\x^{2} + 11 x + 24,&x\geq-8.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим часть параболы $y=x^{2} + 17 x + 72$

Коэффициент при x² равен $1$ , поэтому ветви направлены вверх. Оставляем точки, для которых $x\in(-\infty;-8)$ .

x_0

=-\frac{17}{2\cdot1}

=- \frac{17}{2}

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=1

\cdot(- \frac{17}{2})^2

+17

\cdot(- \frac{17}{2})

+72

=- \frac{1}{4}

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=(x + \frac{17}{2})^{2}

- \frac{1}{4}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&- \frac{19}{2}&-9&- \frac{17}{2}\\\hline y&\frac{3}{4}&0&- \frac{1}{4}\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Строим часть параболы $y=x^{2} + 11 x + 24$

Коэффициент при x² равен $1$ , поэтому ветви направлены вверх. Оставляем точки, для которых $x\in[-8;\infty)$ .

x_0

=-\frac{11}{2\cdot1}

=- \frac{11}{2}

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=1

\cdot(- \frac{11}{2})^2

+11

\cdot(- \frac{11}{2})

+24

=- \frac{25}{4}

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=(x + \frac{11}{2})^{2}

- \frac{25}{4}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&-6&- \frac{11}{2}&-5\\\hline y&-6&- \frac{25}{4}&-6\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(- \dfrac{17}{2};- \dfrac{1}{4})$ — закрашенная; $B(-8;0)$ — закрашенная; $C(- \dfrac{11}{2};- \dfrac{25}{4})$ — закрашенная.

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=- \dfrac{1}{4}$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ 675547 с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(- frac{17}{2};- frac{1}{4})) — закрашенная; (B(-8;0)) — закрашенная; (C(- frac{11}{2};- frac{25}{4})) — закрашенная. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

Обозначим через $N$ число общих точек. Передвигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения со всеми частями графика. На граничных уровнях учитываем закрашенные точки и не учитываем выколотые.

m\in(-\infty;- \frac{25}{4})\quad\Longrightarrow\quad N

=0