ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ 67EDD6104 из 157

Кусочный график: парабола и прямая

Постройте график функции

$y = {\begin{matrix} \begin{matrix} x^{2} - 10 x + 25 \\ x - 2 \end{matrix} & \begin{matrix} при \\ при \end{matrix} & \begin{matrix} x \geq 4, \\ x < 4. \end{matrix} \end{matrix}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 67EDD6.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Получаем:

y=\begin{cases}x - 2,&x<4.\\x^{2} - 10 x + 25,&x\geq4.\end{cases}

Для $y=x - 2$ берём точки $(-1;-3)$ , $(0;-2)$ .

Для $y=x^{2} - 10 x + 25$ :

y=(x - 5)^{2}

Вершина полной параболы $(5;0)$ входит в нужную часть.

$A(4;1)$ — закрашенная; $B(4;2)$ — выколотая; $C(5;0)$ — закрашенная.

$График функции из задания ФИПИ 67EDD6. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=\frac{3}{2}$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

По графику считаем число пересечений $N$ с прямой $y=m$ :

m\in(-\infty;0)\cup[2;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=1

m\in\{0\}\cup(1;2)\quad\Longrightarrow\quad N=2

m\in(0;1]\quad\Longrightarrow\quad N=3

Ответ: $m\in\{0\}\cup(1;2)$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

Идея решения

Построим каждую часть только на её промежутке. Найдём вершину параболы и значения на границе частей, а затем посчитаем пересечения с горизонтальной прямой.

Что строим: $y=\begin{cases}x^{2} - 10 x + 25,&x\geq4.\\x - 2,&x<4.\end{cases}$
Семейство прямых: $y=m$
Ограничения: Все действительные x; для каждой части соблюдаем её промежуток.

Читаем условия построения

Функция определена при всех действительных x. Если формул несколько, каждая действует только на своём промежутке.

Получаем удобные формулы для построения

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y=\begin{cases}x - 2,&x<4.\\x^{2} - 10 x + 25,&x\geq4.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим часть прямой $y=x - 2$

Для прямой достаточно двух точек. Возьмём удобные x, вычислим y и проведём прямую через полученные точки. Оставляем точки, для которых $x\in(-\infty;4)$ .

\begin{array}{c|ccc}x&-1&0&1\\\hline y&-3&-2&-1\end{array}

Подставляем выбранные значения x в формулу прямой.

Строим часть параболы $y=x^{2} - 10 x + 25$

Коэффициент при x² равен $1$ , поэтому ветви направлены вверх. Оставляем точки, для которых $x\in[4;\infty)$ .

x_0

=-\frac{-10}{2\cdot1}

=5

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=1

\cdot5^2

+(-10)

\cdot5

+25

=0

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=(x - 5)^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&4&\frac{9}{2}&5\\\hline y&1&\frac{1}{4}&0\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(4;1)$ — закрашенная; $B(4;2)$ — выколотая; $C(5;0)$ — закрашенная.

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=\dfrac{3}{2}$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ 67EDD6 с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(4;1)) — закрашенная; (B(4;2)) — выколотая; (C(5;0)) — закрашенная. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

Обозначим через $N$ число общих точек. Передвигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения со всеми частями графика. На граничных уровнях учитываем закрашенные точки и не учитываем выколотые.

m\in(-\infty;0)\cup[2;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=1

Число общих точек на указанных уровнях.

m\in\{0\}\cup(1;2)\quad\Longrightarrow\quad N

=2

Число общих точек на указанных уровнях.

m\in(0;1]\quad\Longrightarrow\quad N=3

Число общих точек на указанных уровнях.

Уровни вершин, границ частей и выколотых точек проверены отдельно. Промежутки в таблице охватывают все действительные значения параметра.

Проверяем выбранные значения

Проверим показанные на рисунке прямые по формулам. Каждый корень учитываем только на его участке; общие границы не считаем дважды.

m

=0\quad\Longrightarrow\quad N

=2

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

m

=\frac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad N

=2

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

Полный разбор всех промежутков и граничных значений приведён выше, поэтому отдельные примеры не подменяют доказательство полноты ответа.

Записываем полный ответ

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

m\in\{0\}\cup(1;2)

Учитываем все найденные значения и правильно ставим скобки у границ промежутков.

Что проверяет эксперт в задании №22

За задание можно получить до 2 баллов. В материалах ФИПИ оцениваются построение графика и полный ответ на вопрос задачи.

2 балла: График построен верно и получен правильный ответ: найдены все требуемые значения параметра либо наибольшее число общих точек.
1 балл: График построен верно, но ответ на вопрос задачи неверен или отсутствует.
0 баллов: Решение не отвечает указанным критериям. Один ответ без правильно построенного графика недостаточен.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026, страница 25. Решения и образцы записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Все части графика построены на своих промежутках; вершины и опорные точки вычислены верно.Выколотые точки, включённые границы и асимптоты учтены при подсчёте общих точек.Проверены промежутки и их границы; записан полный ответ с правильными знаками и скобками.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, графики, исходные ограничения и все значения параметра. Ответы сверены двумя независимыми способами.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Определите область определения до любых сокращений.
Преобразуйте формулу; раскройте модули по промежуткам их знака.
Найдите вершины, границы частей и несколько опорных точек.
Постройте график, различая закрашенные и выколотые точки.
Посчитайте общие точки для всех промежутков параметра и отдельно на их границах.
Проверьте ответ по формулам и запишите все подходящие значения.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

График функции состоит из точек $(x;f(x))$ , где x входит в область определения.
Вершина параболы $y=ax^2+bx+c$ имеет абсциссу $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ .
Прямая $y=m$ горизонтальна, а прямая $y=kx$ проходит через начало координат.
Раскрытие модуля зависит от знака выражения под ним; сокращение дроби не меняет исходные ограничения.
Касание, соединение частей и выколотая точка могут изменить число общих точек на граничном уровне.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Сократить дробь и забыть отметить запрещённый x выколотой точкой.
Построить целую параболу или прямую вместо заданной части.
Не проверить, входит ли конец промежутка в график.
Посчитать соединяющую точку двух частей дважды или засчитать выколотую точку.
Проверить только отдельные удобные значения параметра и пропустить границы или другие промежутки.

Все задания №22 (157)

Кусочный график: парабола и прямая

Сначала решите на бумаге

Решаем и оформляем задание №22

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

1Читаем условия построения

2Получаем удобные формулы для построения

3Строим часть прямой y=x−2y=x - 2y=x−2

4Строим часть параболы y=x2−10x+25y=x^{2} - 10 x + 25y=x2−10x+25

5Отмечаем границы и собираем график

График и прямые с параметром

6Считаем общие точки и проверяем границы

7Проверяем выбранные значения

8Записываем полный ответ

Что проверяет эксперт в задании №22

Сверьте свою запись

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Читаем условия построения

Получаем удобные формулы для построения

Строим часть прямой $y=x - 2$

Строим часть параболы $y=x^{2} - 10 x + 25$

Отмечаем границы и собираем график

Считаем общие точки и проверяем границы

Проверяем выбранные значения

Записываем полный ответ