ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ 1D555C111 из 157

Парабола и модуль: три общие точки

Постройте график функции

$y = x^{2} - 11 x - 2 | x - 5 | + 30$ .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 1D555C.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Получаем:

y=\begin{cases}x^{2} - 9 x + 20,&x<5.\\x^{2} - 13 x + 40,&x\geq5.\end{cases}

Для $y=x^{2} - 9 x + 20$ :

y=(x - \frac{9}{2})^{2} - \frac{1}{4}

Вершина полной параболы $(\frac{9}{2};- \frac{1}{4})$ входит в нужную часть.

Для $y=x^{2} - 13 x + 40$ :

y=(x - \frac{13}{2})^{2} - \frac{9}{4}

Вершина полной параболы $(\frac{13}{2};- \frac{9}{4})$ входит в нужную часть.

$A(\frac{9}{2};- \frac{1}{4})$ — закрашенная; $B(5;0)$ — закрашенная; $C(\frac{13}{2};- \frac{9}{4})$ — закрашенная.

$График функции из задания ФИПИ 1D555C. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=- \frac{1}{4}$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

По графику считаем число пересечений $N$ с прямой $y=m$ :

m\in(-\infty;- \frac{9}{4})\quad\Longrightarrow\quad N=0

m\in\{- \frac{9}{4}\}\quad\Longrightarrow\quad N=1

m\in(- \frac{9}{4};- \frac{1}{4})\cup(0;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=2

m\in\{- \frac{1}{4};\;0\}\quad\Longrightarrow\quad N=3

m\in(- \frac{1}{4};0)\quad\Longrightarrow\quad N=4

Ответ: $m\in\{- \frac{1}{4};\;0\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

Идея решения

Раскроем модуль слева и справа от его нуля. Получатся две части парабол. Отметим обе вершины и точку соединения: на этих уровнях может меняться число пересечений.

Что строим: $y=x^{2} - 11 x - 2 |{x - 5}| + 30$
Семейство прямых: $y=m$
Ограничения: Все действительные x; для каждой части соблюдаем её промежуток.

Читаем условия построения

Функция определена при всех действительных x. Если формул несколько, каждая действует только на своём промежутке.

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y

=x^{2}

- 11 x

- 2 (5 - x)

+ 30

=x^{2}

- 9 x

+ 20

При $x<5$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y

=x^{2}

- 11 x

- 2 (x - 5)

+ 30

=x^{2}

- 13 x

+ 40

При $x\geq5$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y=\begin{cases}x^{2} - 9 x + 20,&x<5.\\x^{2} - 13 x + 40,&x\geq5.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим часть параболы $y=x^{2} - 9 x + 20$

Коэффициент при x² равен $1$ , поэтому ветви направлены вверх. Оставляем точки, для которых $x\in(-\infty;5)$ .

x_0

=-\frac{-9}{2\cdot1}

=\frac{9}{2}

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=1

\cdot(\frac{9}{2})^2

+(-9)

\cdot(\frac{9}{2})

+20

=- \frac{1}{4}

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=(x - \frac{9}{2})^{2}

- \frac{1}{4}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&\frac{7}{2}&4&\frac{9}{2}\\\hline y&\frac{3}{4}&0&- \frac{1}{4}\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Строим часть параболы $y=x^{2} - 13 x + 40$

Коэффициент при x² равен $1$ , поэтому ветви направлены вверх. Оставляем точки, для которых $x\in[5;\infty)$ .

x_0

=-\frac{-13}{2\cdot1}

=\frac{13}{2}

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=1

\cdot(\frac{13}{2})^2

+(-13)

\cdot(\frac{13}{2})

+40

=- \frac{9}{4}

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=(x - \frac{13}{2})^{2}

- \frac{9}{4}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&6&\frac{13}{2}&7\\\hline y&-2&- \frac{9}{4}&-2\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(\dfrac{9}{2};- \dfrac{1}{4})$ — закрашенная; $B(5;0)$ — закрашенная; $C(\dfrac{13}{2};- \dfrac{9}{4})$ — закрашенная.

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=- \dfrac{1}{4}$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ 1D555C с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(frac{9}{2};- frac{1}{4})) — закрашенная; (B(5;0)) — закрашенная; (C(frac{13}{2};- frac{9}{4})) — закрашенная. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

Обозначим через $N$ число общих точек. Передвигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения со всеми частями графика. На граничных уровнях учитываем закрашенные точки и не учитываем выколотые.

m\in(-\infty;- \frac{9}{4})\quad\Longrightarrow\quad N

=0