ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ 4773B775 из 157

Модуль разности прямой и гиперболы

Постройте график функции

$y = \frac{1}{2} (| \frac{x}{2,5} - \frac{2,5}{x} | + \frac{x}{2,5} + \frac{2,5}{x})$ .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 4773B7.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Область определения:

x\ne0

Раскроем модуль по знаку выражения:

\frac{2 x}{5} - \frac{5}{2 x}=\frac{x^2-\frac{25}{4}}{\frac{5}{2}x}

Получаем:

y=\begin{cases}\frac{5}{2 x},&x<- \frac{5}{2}.\\\frac{2 x}{5},&- \frac{5}{2}\leq x<0.\\\frac{5}{2 x},&0<x<\frac{5}{2}.\\\frac{2 x}{5},&x\geq\frac{5}{2}.\end{cases}

Для $y=\frac{5}{2 x}$ :

\begin{array}{c|ccc}x&\frac{5}{16}&\frac{1}{2}&\frac{5}{8}\\\hline y&8&5&4\end{array}

Для $y=\frac{2 x}{5}$ берём точки $(- \frac{5}{8};- \frac{1}{4})$ , $(- \frac{1}{2};- \frac{1}{5})$ .

$A(- \frac{5}{2};-1)$ — закрашенная; $B(0;0)$ — выколотая; $C(\frac{5}{2};1)$ — закрашенная.

$График функции из задания ФИПИ 4773B7. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямые $y=-1$ , $y=1$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

По графику считаем число пересечений $N$ с прямой $y=m$ :

m\in(-\infty;-1)\cup[0;1)\quad\Longrightarrow\quad N=0

m\in\{-1;\;1\}\quad\Longrightarrow\quad N=1

m\in(-1;0)\cup(1;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=2

Ответ: $m\in\{-1;\;1\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

Идея решения

Найдём, где выражение под модулем положительно и отрицательно. На разных промежутках формула превращается то в прямую, то в гиперболу.

Что строим: $y=\dfrac{x}{5} + \dfrac{|{\dfrac{2 x}{5} - \dfrac{5}{2 x}}|}{2} + \dfrac{5}{4 x}$
Семейство прямых: $y=m$
Ограничения: $x\ne0$

Находим область определения

До сокращения дробей найдём нули исходных знаменателей. Эти значения запрещены и после преобразований.

x\ne0

Исходный знаменатель не должен обращаться в нуль.

x\ne0

Запоминаем все ограничения исходной функции.

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

\frac{2 x}{5}

- \frac{5}{2 x}

=\frac{x^2-\frac{25}{4}}{\frac{5}{2}x}

Приводим выражение под модулем к общему знаменателю.

x\in\{- \frac{5}{2};\;0;\;\frac{5}{2}\}

Точки изменения знака; x = 0 уже исключён из области определения.

y=\begin{cases}\frac{5}{2 x},&x<- \frac{5}{2}.\\\frac{2 x}{5},&- \frac{5}{2}\leq x<0.\\\frac{5}{2 x},&0<x<\frac{5}{2}.\\\frac{2 x}{5},&x\geq\frac{5}{2}.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим ветвь гиперболы $y=\dfrac{5}{2 x}$

Вычислим несколько точек. К оси x или сдвинутой горизонтальной прямой гипербола приближается, но не обязана её пересекать. Оставляем точки, для которых $x\in(-\infty;- \dfrac{5}{2})\cup(0;\dfrac{5}{2})$ .

\begin{array}{c|ccc}x&\frac{5}{16}&\frac{1}{2}&\frac{5}{8}\\\hline y&8&5&4\end{array}

Вычисляем значения по формуле на допустимых x.

Строим часть прямой $y=\dfrac{2 x}{5}$

Для прямой достаточно двух точек. Возьмём удобные x, вычислим y и проведём прямую через полученные точки. Оставляем точки, для которых $x\in[- \dfrac{5}{2};0)\cup[\dfrac{5}{2};\infty)$ .

\begin{array}{c|ccc}x&- \frac{5}{8}&- \frac{1}{2}&- \frac{5}{16}\\\hline y&- \frac{1}{4}&- \frac{1}{5}&- \frac{1}{8}\end{array}

Подставляем выбранные значения x в формулу прямой.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(- \dfrac{5}{2};-1)$ — закрашенная; $B(0;0)$ — выколотая; $C(\dfrac{5}{2};1)$ — закрашенная.

Пунктиром показаны прямые $y=-1$ , $y=1$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ 4773B7 с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(- frac{5}{2};-1)) — закрашенная; (B(0;0)) — выколотая; (C(frac{5}{2};1)) — закрашенная. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

Обозначим через $N$ число общих точек. Передвигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения со всеми частями графика. На граничных уровнях учитываем закрашенные точки и не учитываем выколотые.

m\in(-\infty;-1)\cup[0;1)\quad\Longrightarrow\quad N=0

Число общих точек на указанных уровнях.

m\in\{-1;\;1\}\quad\Longrightarrow\quad N

=1

Число общих точек на указанных уровнях.

m\in(-1;0)\cup(1;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N

=2

Число общих точек на указанных уровнях.

Уровни вершин, границ частей и выколотых точек проверены отдельно. Промежутки в таблице охватывают все действительные значения параметра.

Проверяем выбранные значения

Проверим показанные на рисунке прямые по формулам. Каждый корень учитываем только на его участке; общие границы не считаем дважды.

m

=-1\quad\Longrightarrow\quad N

=1

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

m

=1\quad\Longrightarrow\quad N

=1

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

Полный разбор всех промежутков и граничных значений приведён выше, поэтому отдельные примеры не подменяют доказательство полноты ответа.

Записываем полный ответ

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

m\in\{-1;\;1\}

Учитываем все найденные значения и правильно ставим скобки у границ промежутков.

Что проверяет эксперт в задании №22

За задание можно получить до 2 баллов. В материалах ФИПИ оцениваются построение графика и полный ответ на вопрос задачи.

2 балла: График построен верно и получен правильный ответ: найдены все требуемые значения параметра либо наибольшее число общих точек.
1 балл: График построен верно, но ответ на вопрос задачи неверен или отсутствует.
0 баллов: Решение не отвечает указанным критериям. Один ответ без правильно построенного графика недостаточен.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026, страница 25. Решения и образцы записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Все части графика построены на своих промежутках; вершины и опорные точки вычислены верно.Выколотые точки, включённые границы и асимптоты учтены при подсчёте общих точек.Проверены промежутки и их границы; записан полный ответ с правильными знаками и скобками.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, графики, исходные ограничения и все значения параметра. Ответы сверены двумя независимыми способами.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Определите область определения до любых сокращений.
Преобразуйте формулу; раскройте модули по промежуткам их знака.
Найдите вершины, границы частей и несколько опорных точек.
Постройте график, различая закрашенные и выколотые точки.
Посчитайте общие точки для всех промежутков параметра и отдельно на их границах.
Проверьте ответ по формулам и запишите все подходящие значения.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

График функции состоит из точек $(x;f(x))$ , где x входит в область определения.
Вершина параболы $y=ax^2+bx+c$ имеет абсциссу $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ .
Прямая $y=m$ горизонтальна, а прямая $y=kx$ проходит через начало координат.
Раскрытие модуля зависит от знака выражения под ним; сокращение дроби не меняет исходные ограничения.
Касание, соединение частей и выколотая точка могут изменить число общих точек на граничном уровне.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Сократить дробь и забыть отметить запрещённый x выколотой точкой.
Построить целую параболу или прямую вместо заданной части.
Не проверить, входит ли конец промежутка в график.
Посчитать соединяющую точку двух частей дважды или засчитать выколотую точку.
Проверить только отдельные удобные значения параметра и пропустить границы или другие промежутки.

Все задания №22 (157)

Модуль разности прямой и гиперболы

Сначала решите на бумаге

Решаем и оформляем задание №22

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

1Находим область определения

2Преобразуем формулу и раскрываем модуль

3Строим ветвь гиперболы y=52xy=\dfrac{5}{2 x}y=2x5​

4Строим часть прямой y=2x5y=\dfrac{2 x}{5}y=52x​

5Отмечаем границы и собираем график

График и прямые с параметром

6Считаем общие точки и проверяем границы

7Проверяем выбранные значения

8Записываем полный ответ

Что проверяет эксперт в задании №22

Сверьте свою запись

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Находим область определения

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Строим ветвь гиперболы $y=\dfrac{5}{2 x}$

Строим часть прямой $y=\dfrac{2 x}{5}$

Отмечаем границы и собираем график

Считаем общие точки и проверяем границы

Проверяем выбранные значения

Записываем полный ответ