Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ 769468137 из 157

Сдвинутая гипербола: нет общих точек

Постройте график функции

y=− 5− x−1 x 2  −x .

Определите, при каких значениях m  прямая y=m  не имеет с графиком общих точек.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 769468.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения mm, при которых нет общих точек.

Идея решения

После сокращения получится сдвинутая гипербола. Отдельно проверим её горизонтальную асимптоту и уровень выколотой точки.

Что строим
y=1−xx2−x−5y=\dfrac{1 - x}{x^{2} - x} - 5
Семейство прямых
y=my=m
Ограничения
x≠0,x≠1x\ne0,\quad x\ne1

Находим область определения

До сокращения дробей найдём нули исходных знаменателей. Эти значения запрещены и после преобразований.

x2x^{2} −x≠0- x\ne0

Исходный знаменатель не должен обращаться в нуль.

x≠0,x≠1x\ne0,\quad x\ne1

Запоминаем все ограничения исходной функции.

Получаем удобные формулы для построения

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

yy=−5=-5−x−1x(x−1)-\frac{x - 1}{x (x - 1)}=−5x−1x=\frac{- 5 x - 1}{x}

Разлагаем на множители и сокращаем общий множитель только при сохранённом ОДЗ.

Строим ветвь гиперболы y=−5x−1xy=\dfrac{- 5 x - 1}{x}

Вычислим несколько точек. К оси x или сдвинутой горизонтальной прямой гипербола приближается, но не обязана её пересекать. Оставляем точки, для которых x∈Rx\in\mathbb{R}.

x−2−12y−92−4−112\begin{array}{c|ccc}x&-2&-1&2\\\hline y&- \frac{9}{2}&-4&- \frac{11}{2}\end{array}

Вычисляем значения по формуле на допустимых x.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. A(1;−6)A(1;-6) — выколотая.

Пунктиром показаны прямые y=−5y=-5, y=−6y=-6. Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График и прямые с параметром

График функции из задания ФИПИ 769468 с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(1;-6)) — выколотая.
Обозначения на графике
  • y=−5x−1xy=\dfrac{- 5 x - 1}{x}
  • Пунктир — примеры прямых с параметром; полный набор значений приведён в решении.
Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.
Открыть график крупнее ↗

Считаем общие точки и проверяем границы

На уровне асимптоты m=−5m=-5 решений нет. На остальных уровнях проверяем единственный корень: он не должен совпасть с x=1x=1.

−5-5−1x-\frac1x=m=m

Ищем общую точку гиперболы и горизонтальной прямой.

xx=1−5−m=\frac1{-5-m}

Если m не равно уровню горизонтальной асимптоты, уравнение имеет единственный корень.

mm=−5=-5−11-\frac1{1}=−6=-6

Этот корень запрещён, когда попадает в выколотую точку.

m∈{−6;  −5}⟹Nm\in\{-6;\;-5\}\quad\Longrightarrow\quad N=0=0

Число общих точек на указанных уровнях.

m∈(−∞;−6)∪(−6;−5)∪(−5;∞)⟹Nm\in(-\infty;-6)\cup(-6;-5)\cup(-5;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=1=1

Число общих точек на указанных уровнях.

При всех других m корень существует и допустим, значит, дополнительных значений в ответе нет.

Проверяем выбранные значения

Проверим показанные на рисунке прямые по формулам. Каждый корень учитываем только на его участке; общие границы не считаем дважды.

mm=−5⟹N=-5\quad\Longrightarrow\quad N=0=0

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

mm=−6⟹N=-6\quad\Longrightarrow\quad N=0=0

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

Полный разбор всех промежутков и граничных значений приведён выше, поэтому отдельные примеры не подменяют доказательство полноты ответа.

Записываем полный ответ

Построить график и найти все значения mm, при которых нет общих точек.

m∈{−6;  −5}m\in\{-6;\;-5\}

Учитываем все найденные значения и правильно ставим скобки у границ промежутков.

Что проверяет эксперт в задании №22

За задание можно получить до 2 баллов. В материалах ФИПИ оцениваются построение графика и полный ответ на вопрос задачи.

2 балла
График построен верно и получен правильный ответ: найдены все требуемые значения параметра либо наибольшее число общих точек.
1 балл
График построен верно, но ответ на вопрос задачи неверен или отсутствует.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Один ответ без правильно построенного графика недостаточен.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026, страница 25. Решения и образцы записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, графики, исходные ограничения и все значения параметра. Ответы сверены двумя независимыми способами.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определите область определения до любых сокращений.
  2. Преобразуйте формулу; раскройте модули по промежуткам их знака.
  3. Найдите вершины, границы частей и несколько опорных точек.
  4. Постройте график, различая закрашенные и выколотые точки.
  5. Посчитайте общие точки для всех промежутков параметра и отдельно на их границах.
  6. Проверьте ответ по формулам и запишите все подходящие значения.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • График функции состоит из точек (x;f(x))(x;f(x)), где x входит в область определения.
  • Вершина параболы y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c имеет абсциссу x0=−b2ax_0=-\dfrac{b}{2a}.
  • Прямая y=my=m горизонтальна, а прямая y=kxy=kx проходит через начало координат.
  • Раскрытие модуля зависит от знака выражения под ним; сокращение дроби не меняет исходные ограничения.
  • Касание, соединение частей и выколотая точка могут изменить число общих точек на граничном уровне.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Сократить дробь и забыть отметить запрещённый x выколотой точкой.
  • Построить целую параболу или прямую вместо заданной части.
  • Не проверить, входит ли конец промежутка в график.
  • Посчитать соединяющую точку двух частей дважды или засчитать выколотую точку.
  • Проверить только отдельные удобные значения параметра и пропустить границы или другие промежутки.
Все задания №22 (157)