ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ F486F75 из 157

Функция с модулем: две общие точки

Постройте график функции

$y = x | x | + 2 | x | - 3 x$ .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание F486F7.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Получаем:

y=\begin{cases}- x^{2} - 5 x,&x<0.\\x^{2} - x,&x\geq0.\end{cases}

Для $y=- x^{2} - 5 x$ :

y=\frac{25}{4} - (x + \frac{5}{2})^{2}

Вершина полной параболы $(- \frac{5}{2};\frac{25}{4})$ входит в нужную часть.

Для $y=x^{2} - x$ :

y=(x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}

Вершина полной параболы $(\frac{1}{2};- \frac{1}{4})$ входит в нужную часть.

$A(- \frac{5}{2};\frac{25}{4})$ — закрашенная; $B(0;0)$ — закрашенная; $C(\frac{1}{2};- \frac{1}{4})$ — закрашенная.

$График функции из задания ФИПИ F486F7. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямые $y=- \frac{1}{4}$ , $y=\frac{25}{4}$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

По графику считаем число пересечений $N$ с прямой $y=m$ :

m\in(-\infty;- \frac{1}{4})\cup(\frac{25}{4};\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=1

m\in\{- \frac{1}{4};\;\frac{25}{4}\}\quad\Longrightarrow\quad N=2

m\in(- \frac{1}{4};\frac{25}{4})\quad\Longrightarrow\quad N=3

Ответ: $m\in\{- \frac{1}{4};\;\frac{25}{4}\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

Идея решения

Раскроем модуль отдельно при отрицательных и неотрицательных x. Построим две части парабол и найдём уровни их вершин.

Что строим: $y=x |{x}| - 3 x + 2 |{x}|$
Семейство прямых: $y=m$
Ограничения: Все действительные x; для каждой части соблюдаем её промежуток.

Читаем условия построения

Функция определена при всех действительных x. Если формул несколько, каждая действует только на своём промежутке.

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y

=x (- x)

- 3 x

+ 2 (- x)

=- x^{2}

- 5 x

При $x<0$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y

=x (x)

- 3 x

+ 2 (x)

=x^{2}

- x

При $x\geq0$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y=\begin{cases}- x^{2} - 5 x,&x<0.\\x^{2} - x,&x\geq0.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим часть параболы $y=- x^{2} - 5 x$

Коэффициент при x² равен $-1$ , поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых $x\in(-\infty;0)$ .

x_0

=-\frac{-5}{2\cdot(-1)}

=- \frac{5}{2}

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(-1)

\cdot(- \frac{5}{2})^2

+(-5)

\cdot(- \frac{5}{2})

+0

=\frac{25}{4}

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=\frac{25}{4}

- (x + \frac{5}{2})^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&-3&- \frac{5}{2}&-2\\\hline y&6&\frac{25}{4}&6\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Строим часть параболы $y=x^{2} - x$

Коэффициент при x² равен $1$ , поэтому ветви направлены вверх. Оставляем точки, для которых $x\in[0;\infty)$ .

x_0

=-\frac{-1}{2\cdot1}

=\frac{1}{2}

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=1

\cdot(\frac{1}{2})^2

+(-1)

\cdot(\frac{1}{2})

+0

=- \frac{1}{4}

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=(x - \frac{1}{2})^{2}

- \frac{1}{4}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&0&\frac{1}{2}&1\\\hline y&0&- \frac{1}{4}&0\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(- \dfrac{5}{2};\dfrac{25}{4})$ — закрашенная; $B(0;0)$ — закрашенная; $C(\dfrac{1}{2};- \dfrac{1}{4})$ — закрашенная.

Пунктиром показаны прямые $y=- \dfrac{1}{4}$ , $y=\dfrac{25}{4}$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ F486F7 с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(- frac{5}{2};frac{25}{4})) — закрашенная; (B(0;0)) — закрашенная; (C(frac{1}{2};- frac{1}{4})) — закрашенная. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

Обозначим через $N$ число общих точек. Передвигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения со всеми частями графика. На граничных уровнях учитываем закрашенные точки и не учитываем выколотые.

m\in(-\infty;- \frac{1}{4})\cup(\frac{25}{4};\infty)\quad\Longrightarrow\quad N

=1

Число общих точек на указанных уровнях.

m\in\{- \frac{1}{4};\;\frac{25}{4}\}\quad\Longrightarrow\quad N

=2

Число общих точек на указанных уровнях.

m\in(- \frac{1}{4};\frac{25}{4})\quad\Longrightarrow\quad N

=3

Число общих точек на указанных уровнях.

Уровни вершин, границ частей и выколотых точек проверены отдельно. Промежутки в таблице охватывают все действительные значения параметра.

Проверяем выбранные значения

Проверим показанные на рисунке прямые по формулам. Каждый корень учитываем только на его участке; общие границы не считаем дважды.

m

=- \frac{1}{4}\quad\Longrightarrow\quad N

=2

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

m

=\frac{25}{4}\quad\Longrightarrow\quad N

=2

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

Полный разбор всех промежутков и граничных значений приведён выше, поэтому отдельные примеры не подменяют доказательство полноты ответа.

Записываем полный ответ

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

m\in\{- \frac{1}{4};\;\frac{25}{4}\}

Учитываем все найденные значения и правильно ставим скобки у границ промежутков.

Что проверяет эксперт в задании №22

За задание можно получить до 2 баллов. В материалах ФИПИ оцениваются построение графика и полный ответ на вопрос задачи.

2 балла: График построен верно и получен правильный ответ: найдены все требуемые значения параметра либо наибольшее число общих точек.
1 балл: График построен верно, но ответ на вопрос задачи неверен или отсутствует.
0 баллов: Решение не отвечает указанным критериям. Один ответ без правильно построенного графика недостаточен.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026, страница 25. Решения и образцы записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Все части графика построены на своих промежутках; вершины и опорные точки вычислены верно.Выколотые точки, включённые границы и асимптоты учтены при подсчёте общих точек.Проверены промежутки и их границы; записан полный ответ с правильными знаками и скобками.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, графики, исходные ограничения и все значения параметра. Ответы сверены двумя независимыми способами.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Определите область определения до любых сокращений.
Преобразуйте формулу; раскройте модули по промежуткам их знака.
Найдите вершины, границы частей и несколько опорных точек.
Постройте график, различая закрашенные и выколотые точки.
Посчитайте общие точки для всех промежутков параметра и отдельно на их границах.
Проверьте ответ по формулам и запишите все подходящие значения.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

График функции состоит из точек $(x;f(x))$ , где x входит в область определения.
Вершина параболы $y=ax^2+bx+c$ имеет абсциссу $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ .
Прямая $y=m$ горизонтальна, а прямая $y=kx$ проходит через начало координат.
Раскрытие модуля зависит от знака выражения под ним; сокращение дроби не меняет исходные ограничения.
Касание, соединение частей и выколотая точка могут изменить число общих точек на граничном уровне.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Сократить дробь и забыть отметить запрещённый x выколотой точкой.
Построить целую параболу или прямую вместо заданной части.
Не проверить, входит ли конец промежутка в график.
Посчитать соединяющую точку двух частей дважды или засчитать выколотую точку.
Проверить только отдельные удобные значения параметра и пропустить границы или другие промежутки.

Все задания №22 (157)

Функция с модулем: две общие точки

Сначала решите на бумаге

Решаем и оформляем задание №22

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

1Читаем условия построения

2Преобразуем формулу и раскрываем модуль

3Строим часть параболы y=−x2−5xy=- x^{2} - 5 xy=−x2−5x

4Строим часть параболы y=x2−xy=x^{2} - xy=x2−x

5Отмечаем границы и собираем график

График и прямые с параметром

6Считаем общие точки и проверяем границы

7Проверяем выбранные значения

8Записываем полный ответ

Что проверяет эксперт в задании №22

Сверьте свою запись

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Читаем условия построения

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Строим часть параболы $y=- x^{2} - 5 x$

Строим часть параболы $y=x^{2} - x$

Отмечаем границы и собираем график

Считаем общие точки и проверяем границы

Проверяем выбранные значения

Записываем полный ответ