ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ 6DF71A87 из 157

Модуль и парабола: три общие точки

Постройте график функции

$y = 5 | x - 3 | - x^{2} + 7 x - 12$ .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 6DF71A.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Получаем:

y=\begin{cases}- x^{2} + 2 x + 3,&x<3.\\- x^{2} + 12 x - 27,&x\geq3.\end{cases}

Для $y=- x^{2} + 2 x + 3$ :

y=4 - (x - 1)^{2}

Вершина полной параболы $(1;4)$ входит в нужную часть.

Для $y=- x^{2} + 12 x - 27$ :

y=9 - (x - 6)^{2}

Вершина полной параболы $(6;9)$ входит в нужную часть.

$A(1;4)$ — закрашенная; $B(3;0)$ — закрашенная; $C(6;9)$ — закрашенная.

$График функции из задания ФИПИ 6DF71A. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=4$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

По графику считаем число пересечений $N$ с прямой $y=m$ :

m\in(9;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=0

m\in\{9\}\quad\Longrightarrow\quad N=1

m\in(-\infty;0)\cup(4;9)\quad\Longrightarrow\quad N=2

m\in\{0;\;4\}\quad\Longrightarrow\quad N=3

m\in(0;4)\quad\Longrightarrow\quad N=4

Ответ: $m\in\{0;\;4\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

Идея решения

После раскрытия модуля получим две части парабол с ветвями вниз. Построим вершины и точку соединения, затем проверим уровни, на которых остаются три общие точки.

Что строим: $y=- x^{2} + 7 x + 5 |{x - 3}| - 12$
Семейство прямых: $y=m$
Ограничения: Все действительные x; для каждой части соблюдаем её промежуток.

Читаем условия построения

Функция определена при всех действительных x. Если формул несколько, каждая действует только на своём промежутке.

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y

=- x^{2}

+ 7 x

+ 5 (3 - x)

- 12

=- x^{2}

+ 2 x

+ 3

При $x<3$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y

=- x^{2}

+ 7 x

+ 5 (x - 3)

- 12

=- x^{2}

+ 12 x

- 27

При $x\geq3$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y=\begin{cases}- x^{2} + 2 x + 3,&x<3.\\- x^{2} + 12 x - 27,&x\geq3.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим часть параболы $y=- x^{2} + 2 x + 3$

Коэффициент при x² равен $-1$ , поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых $x\in(-\infty;3)$ .

x_0

=-\frac{2}{2\cdot(-1)}

=1

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(-1)

\cdot1^2

+2

\cdot1

+3

=4

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=4

- (x - 1)^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&0&1&2\\\hline y&3&4&3\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Строим часть параболы $y=- x^{2} + 12 x - 27$

Коэффициент при x² равен $-1$ , поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых $x\in[3;\infty)$ .

x_0

=-\frac{12}{2\cdot(-1)}

=6

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(-1)

\cdot6^2

+12

\cdot6

+(-27)

=9

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=9

- (x - 6)^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&5&6&7\\\hline y&8&9&8\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(1;4)$ — закрашенная; $B(3;0)$ — закрашенная; $C(6;9)$ — закрашенная.

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=4$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ 6DF71A с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(1;4)) — закрашенная; (B(3;0)) — закрашенная; (C(6;9)) — закрашенная. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

Обозначим через $N$ число общих точек. Передвигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения со всеми частями графика. На граничных уровнях учитываем закрашенные точки и не учитываем выколотые.

m\in(9;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N

=0