ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ CB85F652 из 157

График с модулем и выколотой точкой

Постройте график функции

$y = \frac{(0,5 x^{2} - x) \cdot | x |}{x - 2}$ .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком
ни одной общей точки.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание CB85F6.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Область определения:

x\ne2

Сократим дробь, сохраняя ограничения:

y=\frac{\frac{x (x - 2) |{x}|}{2}}{x - 2}=\frac{x |{x}|}{2}

Получаем:

y=\begin{cases}- \frac{x^{2}}{2},&x<0.\\\frac{x^{2}}{2},&x\geq0.\end{cases}

Для $y=- \frac{x^{2}}{2}$ :

y=- \frac{x^{2}}{2}

Вершина полной параболы $(0;0)$ ; берём только заданную часть графика.

Для $y=\frac{x^{2}}{2}$ :

y=\frac{x^{2}}{2}

Вершина полной параболы $(0;0)$ входит в нужную часть.

$A(0;0)$ — закрашенная; $B(2;2)$ — выколотая.

$График функции из задания ФИПИ CB85F6. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямая $y=2$ . Это пример положения прямой; полный ответ записан ниже.

Каждый уровень сокращённого графика достигается один раз. Поэтому пересечений нет только на уровне выколотой точки:

y(2)=\frac{1}{2}\cdot2\cdot|2|=2

Ответ: $m\in\{2\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $m$ , при которых нет общих точек.

Идея решения

Сначала запретим нуль знаменателя. Сократим дробь и раскроем модуль. Удалённая точка остаётся выколотой; её уровень нужно проверить отдельно.

Что строим: $y=\dfrac{(\dfrac{x^{2}}{2} - x) |{x}|}{x - 2}$
Семейство прямых: $y=m$
Ограничения: $x\ne2$

Находим область определения

До сокращения дробей найдём нули исходных знаменателей. Эти значения запрещены и после преобразований.

x

- 2\ne0

Исходный знаменатель не должен обращаться в нуль.

x\ne2

Запоминаем все ограничения исходной функции.

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y

=\frac{\frac{x (x - 2) |{x}|}{2}}{x - 2}

=\frac{x |{x}|}{2}

Разлагаем на множители и сокращаем общий множитель только при сохранённом ОДЗ.

y=\begin{cases}- \frac{x^{2}}{2},&x<0.\\\frac{x^{2}}{2},&x\geq0.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим часть параболы $y=- \dfrac{x^{2}}{2}$

Коэффициент при x² равен $- \dfrac{1}{2}$ , поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых $x\in(-\infty;0)$ .

x_0

=-\frac{0}{2\cdot(- \frac{1}{2})}

=0

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(- \frac{1}{2})

\cdot0^2

+0

\cdot0

+0

=0

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=- \frac{x^{2}}{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&-2&-1&- \frac{1}{2}\\\hline y&-2&- \frac{1}{2}&- \frac{1}{8}\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Строим часть параболы $y=\dfrac{x^{2}}{2}$

Коэффициент при x² равен $\dfrac{1}{2}$ , поэтому ветви направлены вверх. Оставляем точки, для которых $x\in[0;\infty)$ .

x_0

=-\frac{0}{2\cdot(\frac{1}{2})}

=0

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(\frac{1}{2})

\cdot0^2

+0

\cdot0

+0

=0

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=\frac{x^{2}}{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&0&\frac{1}{2}&1\\\hline y&0&\frac{1}{8}&\frac{1}{2}\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(0;0)$ — закрашенная; $B(2;2)$ — выколотая.

Пунктиром показаны прямая $y=2$ . Это пример положения прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ CB85F6 с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(0;0)) — закрашенная; (B(2;2)) — выколотая. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

Сокращённая функция $y=\dfrac{x |{x}|}{2}$ строго возрастает и принимает все действительные значения. Каждая горизонтальная прямая пересекает её один раз. После удаления точки исчезает только её уровень.

y(2)

=\frac{1}{2}

\cdot2

\cdot|2|

=2

Вычисляем ординату удалённой точки на сокращённом графике.

m\in\{2\}\quad\Longrightarrow\quad N

=0

Число общих точек на указанных уровнях.

m\in(-\infty;2)\cup(2;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N

=1

Число общих точек на указанных уровнях.

Запись y в вычислении относится к вспомогательной сокращённой функции: исходная функция при запрещённом x не определена.

Проверяем выбранные значения

Проверим показанные на рисунке прямые по формулам. Каждый корень учитываем только на его участке; общие границы не считаем дважды.

m

=2\quad\Longrightarrow\quad N

=0

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

Полный разбор всех промежутков и граничных значений приведён выше, поэтому отдельные примеры не подменяют доказательство полноты ответа.

Записываем полный ответ

Построить график и найти все значения $m$ , при которых нет общих точек.

m\in\{2\}

Учитываем все найденные значения и правильно ставим скобки у границ промежутков.

Что проверяет эксперт в задании №22

За задание можно получить до 2 баллов. В материалах ФИПИ оцениваются построение графика и полный ответ на вопрос задачи.

2 балла: График построен верно и получен правильный ответ: найдены все требуемые значения параметра либо наибольшее число общих точек.
1 балл: График построен верно, но ответ на вопрос задачи неверен или отсутствует.
0 баллов: Решение не отвечает указанным критериям. Один ответ без правильно построенного графика недостаточен.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026, страница 25. Решения и образцы записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Все части графика построены на своих промежутках; вершины и опорные точки вычислены верно.Выколотые точки, включённые границы и асимптоты учтены при подсчёте общих точек.Проверены промежутки и их границы; записан полный ответ с правильными знаками и скобками.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, графики, исходные ограничения и все значения параметра. Ответы сверены двумя независимыми способами.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Определите область определения до любых сокращений.
Преобразуйте формулу; раскройте модули по промежуткам их знака.
Найдите вершины, границы частей и несколько опорных точек.
Постройте график, различая закрашенные и выколотые точки.
Посчитайте общие точки для всех промежутков параметра и отдельно на их границах.
Проверьте ответ по формулам и запишите все подходящие значения.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

График функции состоит из точек $(x;f(x))$ , где x входит в область определения.
Вершина параболы $y=ax^2+bx+c$ имеет абсциссу $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ .
Прямая $y=m$ горизонтальна, а прямая $y=kx$ проходит через начало координат.
Раскрытие модуля зависит от знака выражения под ним; сокращение дроби не меняет исходные ограничения.
Касание, соединение частей и выколотая точка могут изменить число общих точек на граничном уровне.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Сократить дробь и забыть отметить запрещённый x выколотой точкой.
Построить целую параболу или прямую вместо заданной части.
Не проверить, входит ли конец промежутка в график.
Посчитать соединяющую точку двух частей дважды или засчитать выколотую точку.
Проверить только отдельные удобные значения параметра и пропустить границы или другие промежутки.

Все задания №22 (157)

График с модулем и выколотой точкой

Сначала решите на бумаге

Решаем и оформляем задание №22

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

1Находим область определения

2Преобразуем формулу и раскрываем модуль

3Строим часть параболы y=−x22y=- \dfrac{x^{2}}{2}y=−2x2​

4Строим часть параболы y=x22y=\dfrac{x^{2}}{2}y=2x2​

5Отмечаем границы и собираем график

График и прямые с параметром

6Считаем общие точки и проверяем границы

7Проверяем выбранные значения

8Записываем полный ответ