ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ D28F33144 из 157

Модуль параболы: наибольшее число точек

Постройте график функции

$y = | x^{2} - x - 2 |$ .

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции
с прямой, параллельной оси абсцисс?

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание D28F33.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Нули выражения под модулем:

x^{2} - x - 2=(x - 2) (x + 1)

x\in\{-1;\;2\}

Получаем:

y=\begin{cases}x^{2} - x - 2,&x<-1.\\- x^{2} + x + 2,&-1\leq x<2.\\x^{2} - x - 2,&x\geq2.\end{cases}

Для $y=x^{2} - x - 2$ :

y=(x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{9}{4}

Вершина полной параболы $(\frac{1}{2};- \frac{9}{4})$ ; берём только заданную часть графика.

Для $y=- x^{2} + x + 2$ :

y=\frac{9}{4} - (x - \frac{1}{2})^{2}

Вершина полной параболы $(\frac{1}{2};\frac{9}{4})$ входит в нужную часть.

$A(-1;0)$ — закрашенная; $B(\frac{1}{2};\frac{9}{4})$ — закрашенная; $C(2;0)$ — закрашенная.

$График функции из задания ФИПИ D28F33. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямая $y=\frac{9}{8}$ . Это пример положения прямой; полный ответ записан ниже.

По графику считаем число пересечений $N$ с прямой $y=m$ :

m\in(-\infty;0)\quad\Longrightarrow\quad N=0

m\in\{0\}\cup(\frac{9}{4};\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=2

m\in\{\frac{9}{4}\}\quad\Longrightarrow\quad N=3

m\in(0;\frac{9}{4})\quad\Longrightarrow\quad N=4

Ответ: $4$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти наибольшее число пересечений с горизонтальной прямой.

Идея решения

Построим параболу под модулем и отразим её часть, лежащую ниже оси x, вверх. Посмотрим, сколько раз горизонтальная прямая может пересечь получившиеся дуги.

Что строим: $y=|{- x^{2} + x + 2}|$
Семейство прямых: $y=m$
Ограничения: Все действительные x; для каждой части соблюдаем её промежуток.

Читаем условия построения

Функция определена при всех действительных x. Если формул несколько, каждая действует только на своём промежутке.

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

x^{2}

- x

- 2

=(x - 2) (x + 1)

Находим нули параболы и знаки выражения под модулем.

x\in\{-1;\;2\}

В этих точках парабола пересекает ось x.

y=\begin{cases}x^{2} - x - 2,&x<-1.\\- x^{2} + x + 2,&-1\leq x<2.\\x^{2} - x - 2,&x\geq2.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим часть параболы $y=x^{2} - x - 2$

Коэффициент при x² равен $1$ , поэтому ветви направлены вверх. Оставляем точки, для которых $x\in(-\infty;-1)\cup[2;\infty)$ .

x_0

=-\frac{-1}{2\cdot1}

=\frac{1}{2}

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=1

\cdot(\frac{1}{2})^2

+(-1)

\cdot(\frac{1}{2})

+(-2)

=- \frac{9}{4}

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=(x - \frac{1}{2})^{2}

- \frac{9}{4}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&- \frac{3}{2}&2&\frac{5}{2}\\\hline y&\frac{7}{4}&0&\frac{7}{4}\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Строим часть параболы $y=- x^{2} + x + 2$

Коэффициент при x² равен $-1$ , поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых $x\in[-1;2)$ .

x_0

=-\frac{1}{2\cdot(-1)}

=\frac{1}{2}

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(-1)

\cdot(\frac{1}{2})^2

+1

\cdot(\frac{1}{2})

+2

=\frac{9}{4}

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=\frac{9}{4}

- (x - \frac{1}{2})^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&\frac{1}{8}&\frac{1}{2}&\frac{7}{8}\\\hline y&\frac{135}{64}&\frac{9}{4}&\frac{135}{64}\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(-1;0)$ — закрашенная; $B(\dfrac{1}{2};\dfrac{9}{4})$ — закрашенная; $C(2;0)$ — закрашенная.

Пунктиром показаны прямая $y=\dfrac{9}{8}$ . Это пример положения прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ D28F33 с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(-1;0)) — закрашенная; (B(frac{1}{2};frac{9}{4})) — закрашенная; (C(2;0)) — закрашенная. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

Обозначим через $N$ число общих точек. Передвигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения со всеми частями графика. На граничных уровнях учитываем закрашенные точки и не учитываем выколотые.

m\in(-\infty;0)\quad\Longrightarrow\quad N

=0

Число общих точек на указанных уровнях.

m\in\{0\}\cup(\frac{9}{4};\infty)\quad\Longrightarrow\quad N

=2

Число общих точек на указанных уровнях.

m\in\{\frac{9}{4}\}\quad\Longrightarrow\quad N

=3

Число общих точек на указанных уровнях.

m\in(0;\frac{9}{4})\quad\Longrightarrow\quad N

=4

Число общих точек на указанных уровнях.

Уровни вершин, границ частей и выколотых точек проверены отдельно. Промежутки в таблице охватывают все действительные значения параметра. Наибольшее из полученных чисел и есть ответ. Достаточно указать уровень, на котором оно достигается, и объяснить, почему больше быть не может.

Проверяем выбранные значения

Проверим показанные на рисунке прямые по формулам. Каждый корень учитываем только на его участке; общие границы не считаем дважды.

m

=\frac{9}{8}\quad\Longrightarrow\quad N

=4

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

Полный разбор всех промежутков и граничных значений приведён выше, поэтому отдельные примеры не подменяют доказательство полноты ответа.

Записываем полный ответ

Построить график и найти наибольшее число пересечений с горизонтальной прямой.

4

Учитываем все найденные значения и правильно ставим скобки у границ промежутков.

Что проверяет эксперт в задании №22

За задание можно получить до 2 баллов. В материалах ФИПИ оцениваются построение графика и полный ответ на вопрос задачи.

2 балла: График построен верно и получен правильный ответ: найдены все требуемые значения параметра либо наибольшее число общих точек.
1 балл: График построен верно, но ответ на вопрос задачи неверен или отсутствует.
0 баллов: Решение не отвечает указанным критериям. Один ответ без правильно построенного графика недостаточен.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026, страница 25. Решения и образцы записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Все части графика построены на своих промежутках; вершины и опорные точки вычислены верно.Выколотые точки, включённые границы и асимптоты учтены при подсчёте общих точек.Проверены промежутки и их границы; записан полный ответ с правильными знаками и скобками.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, графики, исходные ограничения и все значения параметра. Ответы сверены двумя независимыми способами.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Определите область определения до любых сокращений.
Преобразуйте формулу; раскройте модули по промежуткам их знака.
Найдите вершины, границы частей и несколько опорных точек.
Постройте график, различая закрашенные и выколотые точки.
Посчитайте общие точки для всех промежутков параметра и отдельно на их границах.
Проверьте ответ по формулам и запишите все подходящие значения.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

График функции состоит из точек $(x;f(x))$ , где x входит в область определения.
Вершина параболы $y=ax^2+bx+c$ имеет абсциссу $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ .
Прямая $y=m$ горизонтальна, а прямая $y=kx$ проходит через начало координат.
Раскрытие модуля зависит от знака выражения под ним; сокращение дроби не меняет исходные ограничения.
Касание, соединение частей и выколотая точка могут изменить число общих точек на граничном уровне.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Сократить дробь и забыть отметить запрещённый x выколотой точкой.
Построить целую параболу или прямую вместо заданной части.
Не проверить, входит ли конец промежутка в график.
Посчитать соединяющую точку двух частей дважды или засчитать выколотую точку.
Проверить только отдельные удобные значения параметра и пропустить границы или другие промежутки.

Все задания №22 (157)

Модуль параболы: наибольшее число точек

Сначала решите на бумаге

Решаем и оформляем задание №22

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

1Читаем условия построения

2Преобразуем формулу и раскрываем модуль

3Строим часть параболы y=x2−x−2y=x^{2} - x - 2y=x2−x−2

4Строим часть параболы y=−x2+x+2y=- x^{2} + x + 2y=−x2+x+2

5Отмечаем границы и собираем график

График и прямые с параметром

6Считаем общие точки и проверяем границы

7Проверяем выбранные значения

8Записываем полный ответ

Что проверяет эксперт в задании №22

Сверьте свою запись

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Читаем условия построения

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Строим часть параболы $y=x^{2} - x - 2$

Строим часть параболы $y=- x^{2} + x + 2$

Отмечаем границы и собираем график

Считаем общие точки и проверяем границы

Проверяем выбранные значения

Записываем полный ответ