ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ 2F87A2116 из 157

Модуль и парабола: три общие точки

Постройте график функции

$y = 2 | x - 4 | - x^{2} + 9 x - 20$ .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 2F87A2.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Получаем:

y=\begin{cases}- x^{2} + 7 x - 12,&x<4.\\- x^{2} + 11 x - 28,&x\geq4.\end{cases}

Для $y=- x^{2} + 7 x - 12$ :

y=\frac{1}{4} - (x - \frac{7}{2})^{2}

Вершина полной параболы $(\frac{7}{2};\frac{1}{4})$ входит в нужную часть.

Для $y=- x^{2} + 11 x - 28$ :

y=\frac{9}{4} - (x - \frac{11}{2})^{2}

Вершина полной параболы $(\frac{11}{2};\frac{9}{4})$ входит в нужную часть.

$A(\frac{7}{2};\frac{1}{4})$ — закрашенная; $B(4;0)$ — закрашенная; $C(\frac{11}{2};\frac{9}{4})$ — закрашенная.

$График функции из задания ФИПИ 2F87A2. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=\frac{1}{4}$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

По графику считаем число пересечений $N$ с прямой $y=m$ :

m\in(\frac{9}{4};\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=0

m\in\{\frac{9}{4}\}\quad\Longrightarrow\quad N=1

m\in(-\infty;0)\cup(\frac{1}{4};\frac{9}{4})\quad\Longrightarrow\quad N=2

m\in\{0;\;\frac{1}{4}\}\quad\Longrightarrow\quad N=3

m\in(0;\frac{1}{4})\quad\Longrightarrow\quad N=4

Ответ: $m\in\{0;\;\frac{1}{4}\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $m$ , при которых получается нужное число общих точек.

Идея решения

После раскрытия модуля получим две части парабол с ветвями вниз. Построим вершины и точку соединения, затем проверим уровни, на которых остаются три общие точки.

Что строим: $y=- x^{2} + 9 x + 2 |{x - 4}| - 20$
Семейство прямых: $y=m$
Ограничения: Все действительные x; для каждой части соблюдаем её промежуток.

Читаем условия построения

Функция определена при всех действительных x. Если формул несколько, каждая действует только на своём промежутке.

Преобразуем формулу и раскрываем модуль

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y

=- x^{2}

+ 9 x

+ 2 (4 - x)

- 20

=- x^{2}

+ 7 x

- 12

При $x<4$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y

=- x^{2}

+ 9 x

+ 2 (x - 4)

- 20

=- x^{2}

+ 11 x

- 28

При $x\geq4$ подставляем соответствующее выражение вместо модуля и раскрываем скобки.

y=\begin{cases}- x^{2} + 7 x - 12,&x<4.\\- x^{2} + 11 x - 28,&x\geq4.\end{cases}

Каждую часть строим только на указанном промежутке; исходные ограничения сохраняются.

Строим часть параболы $y=- x^{2} + 7 x - 12$

Коэффициент при x² равен $-1$ , поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых $x\in(-\infty;4)$ .

x_0

=-\frac{7}{2\cdot(-1)}

=\frac{7}{2}

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(-1)

\cdot(\frac{7}{2})^2

+7

\cdot(\frac{7}{2})

+(-12)

=\frac{1}{4}

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=\frac{1}{4}

- (x - \frac{7}{2})^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&\frac{5}{2}&3&\frac{7}{2}\\\hline y&- \frac{3}{4}&0&\frac{1}{4}\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Строим часть параболы $y=- x^{2} + 11 x - 28$

Коэффициент при x² равен $-1$ , поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых $x\in[4;\infty)$ .

x_0

=-\frac{11}{2\cdot(-1)}

=\frac{11}{2}

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(-1)

\cdot(\frac{11}{2})^2

+11

\cdot(\frac{11}{2})

+(-28)

=\frac{9}{4}

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=\frac{9}{4}

- (x - \frac{11}{2})^{2}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&5&\frac{11}{2}&6\\\hline y&2&\frac{9}{4}&2\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(\dfrac{7}{2};\dfrac{1}{4})$ — закрашенная; $B(4;0)$ — закрашенная; $C(\dfrac{11}{2};\dfrac{9}{4})$ — закрашенная.

Пунктиром показаны прямые $y=0$ , $y=\dfrac{1}{4}$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ 2F87A2 с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(frac{7}{2};frac{1}{4})) — закрашенная; (B(4;0)) — закрашенная; (C(frac{11}{2};frac{9}{4})) — закрашенная. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

Обозначим через $N$ число общих точек. Передвигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения со всеми частями графика. На граничных уровнях учитываем закрашенные точки и не учитываем выколотые.

m\in(\frac{9}{4};\infty)\quad\Longrightarrow\quad N

=0