Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ 4CB11B80 из 157

Сдвинутая гипербола: нет общих точек

Постройте график функции

y=− 4− x+1 x 2  +x .

Определите, при каких значениях m  прямая y=m  не имеет с графиком общих точек.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 4CB11B.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения mm, при которых нет общих точек.

Идея решения

После сокращения получится сдвинутая гипербола. Отдельно проверим её горизонтальную асимптоту и уровень выколотой точки.

Что строим
y=−x−1x2+x−4y=\dfrac{- x - 1}{x^{2} + x} - 4
Семейство прямых
y=my=m
Ограничения
x≠−1,x≠0x\ne-1,\quad x\ne0

Находим область определения

До сокращения дробей найдём нули исходных знаменателей. Эти значения запрещены и после преобразований.

x2x^{2} +x≠0+ x\ne0

Исходный знаменатель не должен обращаться в нуль.

x≠x\ne−1,x≠0-1,\quad x\ne0

Запоминаем все ограничения исходной функции.

Получаем удобные формулы для построения

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

yy=−4=-4−x+1x(x+1)-\frac{x + 1}{x (x + 1)}=−4x−1x=\frac{- 4 x - 1}{x}

Разлагаем на множители и сокращаем общий множитель только при сохранённом ОДЗ.

Строим ветвь гиперболы y=−4x−1xy=\dfrac{- 4 x - 1}{x}

Вычислим несколько точек. К оси x или сдвинутой горизонтальной прямой гипербола приближается, но не обязана её пересекать. Оставляем точки, для которых x∈Rx\in\mathbb{R}.

x−212y−72−5−92\begin{array}{c|ccc}x&-2&1&2\\\hline y&- \frac{7}{2}&-5&- \frac{9}{2}\end{array}

Вычисляем значения по формуле на допустимых x.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. A(−1;−3)A(-1;-3) — выколотая.

Пунктиром показаны прямые y=−3y=-3, y=−4y=-4. Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График и прямые с параметром

График функции из задания ФИПИ 4CB11B с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(-1;-3)) — выколотая.
Обозначения на графике
  • y=−4x−1xy=\dfrac{- 4 x - 1}{x}
  • Пунктир — примеры прямых с параметром; полный набор значений приведён в решении.
Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.
Открыть график крупнее ↗

Считаем общие точки и проверяем границы

На уровне асимптоты m=−4m=-4 решений нет. На остальных уровнях проверяем единственный корень: он не должен совпасть с x=−1x=-1.

−4-4−1x-\frac1x=m=m

Ищем общую точку гиперболы и горизонтальной прямой.

xx=1−4−m=\frac1{-4-m}

Если m не равно уровню горизонтальной асимптоты, уравнение имеет единственный корень.

mm=−4=-4−1−1-\frac1{-1}=−3=-3

Этот корень запрещён, когда попадает в выколотую точку.

m∈{−4;  −3}⟹Nm\in\{-4;\;-3\}\quad\Longrightarrow\quad N=0=0

Число общих точек на указанных уровнях.

m∈(−∞;−4)∪(−4;−3)∪(−3;∞)⟹Nm\in(-\infty;-4)\cup(-4;-3)\cup(-3;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N=1=1

Число общих точек на указанных уровнях.

При всех других m корень существует и допустим, значит, дополнительных значений в ответе нет.

Проверяем выбранные значения

Проверим показанные на рисунке прямые по формулам. Каждый корень учитываем только на его участке; общие границы не считаем дважды.

mm=−3⟹N=-3\quad\Longrightarrow\quad N=0=0

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

mm=−4⟹N=-4\quad\Longrightarrow\quad N=0=0

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

Полный разбор всех промежутков и граничных значений приведён выше, поэтому отдельные примеры не подменяют доказательство полноты ответа.

Записываем полный ответ

Построить график и найти все значения mm, при которых нет общих точек.

m∈{−4;  −3}m\in\{-4;\;-3\}

Учитываем все найденные значения и правильно ставим скобки у границ промежутков.

Что проверяет эксперт в задании №22

За задание можно получить до 2 баллов. В материалах ФИПИ оцениваются построение графика и полный ответ на вопрос задачи.

2 балла
График построен верно и получен правильный ответ: найдены все требуемые значения параметра либо наибольшее число общих точек.
1 балл
График построен верно, но ответ на вопрос задачи неверен или отсутствует.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Один ответ без правильно построенного графика недостаточен.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026, страница 25. Решения и образцы записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, графики, исходные ограничения и все значения параметра. Ответы сверены двумя независимыми способами.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определите область определения до любых сокращений.
  2. Преобразуйте формулу; раскройте модули по промежуткам их знака.
  3. Найдите вершины, границы частей и несколько опорных точек.
  4. Постройте график, различая закрашенные и выколотые точки.
  5. Посчитайте общие точки для всех промежутков параметра и отдельно на их границах.
  6. Проверьте ответ по формулам и запишите все подходящие значения.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • График функции состоит из точек (x;f(x))(x;f(x)), где x входит в область определения.
  • Вершина параболы y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c имеет абсциссу x0=−b2ax_0=-\dfrac{b}{2a}.
  • Прямая y=my=m горизонтальна, а прямая y=kxy=kx проходит через начало координат.
  • Раскрытие модуля зависит от знака выражения под ним; сокращение дроби не меняет исходные ограничения.
  • Касание, соединение частей и выколотая точка могут изменить число общих точек на граничном уровне.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Сократить дробь и забыть отметить запрещённый x выколотой точкой.
  • Построить целую параболу или прямую вместо заданной части.
  • Не проверить, входит ли конец промежутка в график.
  • Посчитать соединяющую точку двух частей дважды или засчитать выколотую точку.
  • Проверить только отдельные удобные значения параметра и пропустить границы или другие промежутки.
Все задания №22 (157)