ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ 929B1784 из 157

Парабола с выколотой точкой и y = kx

Постройте график функции

$y = \frac{(x^{2} + 0,25) (x - 1)}{1 - x}$ .

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = k x$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 929B17.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Область определения:

x\ne1

Сократим дробь, сохраняя ограничения:

y=\frac{\frac{(x - 1) (4 x^{2} + 1)}{4}}{1 - x}=- x^{2} - \frac{1}{4}

Для $y=- x^{2} - \frac{1}{4}$ :

y=- x^{2} - \frac{1}{4}

Вершина полной параболы $(0;- \frac{1}{4})$ входит в нужную часть.

$A(0;- \frac{1}{4})$ — закрашенная; $B(1;- \frac{5}{4})$ — выколотая.

$График функции из задания ФИПИ 929B17. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямые $y=- x$ , $y=x$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

Пересечения с прямой $y=kx$ :

x^2+kx+\frac{1}{4}=0

D=k^2-4\cdot(\frac{1}{4})

При касании:

D=0\quad\Longrightarrow\quad k\in\{-1;\;1\}

Ещё один случай — прямая через выколотую точку:

k=\frac{- \frac{5}{4}}{1}=- \frac{5}{4}

Допустимые корни:

k=- \frac{5}{4}:\quad x\in\{\frac{1}{4}\},\quad N=1

Допустимые корни:

k=-1:\quad x\in\{\frac{1}{2}\},\quad N=1

Допустимые корни:

k=1:\quad x\in\{- \frac{1}{2}\},\quad N=1

Ответ: $k\in\{- \frac{5}{4};\;-1;\;1\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $k$ , при которых получается нужное число общих точек.

Идея решения

После сокращения получится парабола с выколотой точкой. Одна общая точка возможна при касании или когда из двух пересечений одно приходится на удалённую точку.

Что строим: $y=\dfrac{(x - 1) (x^{2} + \dfrac{1}{4})}{1 - x}$
Семейство прямых: $y=kx$
Ограничения: $x\ne1$

Находим область определения

До сокращения дробей найдём нули исходных знаменателей. Эти значения запрещены и после преобразований.

1

- x\ne0

Исходный знаменатель не должен обращаться в нуль.

x\ne1

Запоминаем все ограничения исходной функции.

Получаем удобные формулы для построения

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y

=\frac{\frac{(x - 1) (4 x^{2} + 1)}{4}}{1 - x}

=- x^{2}

- \frac{1}{4}

Разлагаем на множители и сокращаем общий множитель только при сохранённом ОДЗ.

Строим часть параболы $y=- x^{2} - \dfrac{1}{4}$

Коэффициент при x² равен $-1$ , поэтому ветви направлены вниз. Оставляем точки, для которых $x\in\mathbb{R}$ .

x_0

=-\frac{0}{2\cdot(-1)}

=0

Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a).

y_0

=(-1)

\cdot0^2

+0

\cdot0

+(- \frac{1}{4})

=- \frac{1}{4}

Подставляем x₀ в формулу, чтобы получить ординату вершины.

y

=- x^{2}

- \frac{1}{4}

Вид с выделенным квадратом показывает вершину и направление ветвей.

\begin{array}{c|ccc}x&-2&-1&0\\\hline y&- \frac{17}{4}&- \frac{5}{4}&- \frac{1}{4}\end{array}

Дополнительные точки для точного построения.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(0;- \dfrac{1}{4})$ — закрашенная; $B(1;- \dfrac{5}{4})$ — выколотая.

Пунктиром показаны прямые $y=- x$ , $y=x$ . Это примеры положений прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ 929B17 с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(0;- frac{1}{4})) — закрашенная; (B(1;- frac{5}{4})) — выколотая. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

Составим уравнение пересечения. Один допустимый корень получается при касании или при двух корнях, один из которых совпадает с запрещённым x.

x^2

+kx

+\frac{1}{4}

=0

Приравниваем параболу и прямую, переносим всё в одну часть.

D

=k^2

-4

\cdot(\frac{1}{4})

Число корней квадратного уравнения определяется дискриминантом.

D

=0\quad\Longrightarrow\quad k\in\{-1;\;1\}

При касании получается один корень; проверяем, что он не запрещён.

k

=\frac{- \frac{5}{4}}{1}

=- \frac{5}{4}

Прямая через выколотую точку: её наклон равен отношению y к x.

k

=- \frac{5}{4}:\quad x\in\{\frac{1}{4}\},\quad N

=1

Проверяем корни, исключая запрещённое значение x.

k

=-1:\quad x\in\{\frac{1}{2}\},\quad N

=1

Проверяем корни, исключая запрещённое значение x.

k

=1:\quad x\in\{- \frac{1}{2}\},\quad N

=1

Проверяем корни, исключая запрещённое значение x.

k\in(-1;1)\quad\Longrightarrow\quad N

=0

Число общих точек на указанных уровнях.

k\in\{- \frac{5}{4};\;-1;\;1\}\quad\Longrightarrow\quad N

=1

Число общих точек на указанных уровнях.

k\in(-\infty;- \frac{5}{4})\cup(- \frac{5}{4};-1)\cup(1;\infty)\quad\Longrightarrow\quad N

=2

Число общих точек на указанных уровнях.

Кандидатов проверяем в исходной области определения. Двойной корень в выколотой точке не даёт пересечения; обычное пересечение в ней нужно удалить из счёта.

Проверяем выбранные значения

Проверим показанные на рисунке прямые по формулам. Каждый корень учитываем только на его участке; общие границы не считаем дважды.

k

=-1\quad\Longrightarrow\quad N

=1

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

k

=1\quad\Longrightarrow\quad N

=1

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

Полный разбор всех промежутков и граничных значений приведён выше, поэтому отдельные примеры не подменяют доказательство полноты ответа.

Записываем полный ответ

Построить график и найти все значения $k$ , при которых получается нужное число общих точек.

k\in\{- \frac{5}{4};\;-1;\;1\}

Учитываем все найденные значения и правильно ставим скобки у границ промежутков.

Что проверяет эксперт в задании №22

За задание можно получить до 2 баллов. В материалах ФИПИ оцениваются построение графика и полный ответ на вопрос задачи.

2 балла: График построен верно и получен правильный ответ: найдены все требуемые значения параметра либо наибольшее число общих точек.
1 балл: График построен верно, но ответ на вопрос задачи неверен или отсутствует.
0 баллов: Решение не отвечает указанным критериям. Один ответ без правильно построенного графика недостаточен.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026, страница 25. Решения и образцы записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Все части графика построены на своих промежутках; вершины и опорные точки вычислены верно.Выколотые точки, включённые границы и асимптоты учтены при подсчёте общих точек.Проверены промежутки и их границы; записан полный ответ с правильными знаками и скобками.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, графики, исходные ограничения и все значения параметра. Ответы сверены двумя независимыми способами.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Определите область определения до любых сокращений.
Преобразуйте формулу; раскройте модули по промежуткам их знака.
Найдите вершины, границы частей и несколько опорных точек.
Постройте график, различая закрашенные и выколотые точки.
Посчитайте общие точки для всех промежутков параметра и отдельно на их границах.
Проверьте ответ по формулам и запишите все подходящие значения.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

График функции состоит из точек $(x;f(x))$ , где x входит в область определения.
Вершина параболы $y=ax^2+bx+c$ имеет абсциссу $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ .
Прямая $y=m$ горизонтальна, а прямая $y=kx$ проходит через начало координат.
Раскрытие модуля зависит от знака выражения под ним; сокращение дроби не меняет исходные ограничения.
Касание, соединение частей и выколотая точка могут изменить число общих точек на граничном уровне.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Сократить дробь и забыть отметить запрещённый x выколотой точкой.
Построить целую параболу или прямую вместо заданной части.
Не проверить, входит ли конец промежутка в график.
Посчитать соединяющую точку двух частей дважды или засчитать выколотую точку.
Проверить только отдельные удобные значения параметра и пропустить границы или другие промежутки.

Все задания №22 (157)

Парабола с выколотой точкой и y = kx

Сначала решите на бумаге

Решаем и оформляем задание №22

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

1Находим область определения

2Получаем удобные формулы для построения

3Строим часть параболы y=−x2−14y=- x^{2} - \dfrac{1}{4}y=−x2−41​

4Отмечаем границы и собираем график

График и прямые с параметром

5Считаем общие точки и проверяем границы

6Проверяем выбранные значения

7Записываем полный ответ

Что проверяет эксперт в задании №22

Сверьте свою запись

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Находим область определения

Получаем удобные формулы для построения

Строим часть параболы $y=- x^{2} - \dfrac{1}{4}$

Отмечаем границы и собираем график

Считаем общие точки и проверяем границы

Проверяем выбранные значения

Записываем полный ответ