ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 22 · ФИПИ 8E25DC107 из 157

Гипербола с выколотой точкой и y = kx

Постройте график функции

$y = \frac{2 x + 5}{2 x^{2} + 5 x}$ .

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = k x$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 22, построение графика, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 8E25DC.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №22

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Построение графика, обоснование и полный ответ.

№22.

Область определения:

x\ne- \frac{5}{2},\quad x\ne0

Сократим дробь, сохраняя ограничения:

y=\frac{2 x + 5}{x (2 x + 5)}=\frac{1}{x}

Для $y=\frac{1}{x}$ :

\begin{array}{c|ccc}x&-2&-1&1\\\hline y&- \frac{1}{2}&-1&1\end{array}

$A(- \frac{5}{2};- \frac{2}{5})$ — выколотая.

$График функции из задания ФИПИ 8E25DC. Обозначения и координаты точек приведены рядом.$

Пунктиром показаны прямая $y=\frac{4 x}{25}$ . Это пример положения прямой; полный ответ записан ниже.

При $k\leq0$ равенство $kx^2=1$ невозможно. При $k>0$ один из двух корней должен совпасть с запрещённым значением $x=- \frac{5}{2}$ .

\frac1x=kx\quad\Longleftrightarrow\quad kx^2=1

k=\frac1{(- \frac{5}{2})^2}=\frac{4}{25}

Второй корень $x=\frac{5}{2}$ допустим.

Ответ: $k\in\{\frac{4}{25}\}$ .

На экзамене запишите номер задания, постройте график, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Построить график и найти все значения $k$ , при которых получается нужное число общих точек.

Идея решения

После сокращения получится гипербола с выколотой точкой. Уравнение пересечения с y = kx обычно даёт два противоположных корня; один из них должен оказаться запрещённым.

Что строим: $y=\dfrac{2 x + 5}{2 x^{2} + 5 x}$
Семейство прямых: $y=kx$
Ограничения: $x\ne- \dfrac{5}{2},\quad x\ne0$

Находим область определения

До сокращения дробей найдём нули исходных знаменателей. Эти значения запрещены и после преобразований.

2 x^{2}

+ 5 x\ne0

Исходный знаменатель не должен обращаться в нуль.

x\ne

- \frac{5}{2},\quad x\ne0

Запоминаем все ограничения исходной функции.

Получаем удобные формулы для построения

Для построения удобно выделить обычные прямые, параболы и гиперболы. Преобразования должны сохранять исходную область определения.

y

=\frac{2 x + 5}{x (2 x + 5)}

=\frac{1}{x}

Разлагаем на множители и сокращаем общий множитель только при сохранённом ОДЗ.

Строим ветвь гиперболы $y=\dfrac{1}{x}$

Вычислим несколько точек. К оси x или сдвинутой горизонтальной прямой гипербола приближается, но не обязана её пересекать. Оставляем точки, для которых $x\in\mathbb{R}$ .

\begin{array}{c|ccc}x&-2&-1&1\\\hline y&- \frac{1}{2}&-1&1\end{array}

Вычисляем значения по формуле на допустимых x.

Отмечаем границы и собираем график

Пустой кружок означает, что точка не входит в график. Закрашенный кружок означает, что она входит. $A(- \dfrac{5}{2};- \dfrac{2}{5})$ — выколотая.

Пунктиром показаны прямая $y=\dfrac{4 x}{25}$ . Это пример положения прямой; полный ответ записан ниже.

График функции из задания ФИПИ 8E25DC с опорными точками, включёнными и исключёнными границами; (A(- frac{5}{2};- frac{2}{5})) — выколотая. — Координаты опорных точек вычислены по условию. Пустой кружок исключает точку из графика. Масштаб читается отдельно по каждой оси.

Считаем общие точки и проверяем границы

При $k\leq0$ равенство $kx^2=1$ невозможно. При $k>0$ один из двух корней должен совпасть с запрещённым значением $x=- \dfrac{5}{2}$ .

\frac1x

=kx\quad\Longleftrightarrow\quad kx^2

=1

Умножаем на ненулевой x.

k>0:\quad x

=\pm\frac1{\sqrt{k}}

При положительном k обычно получаются два противоположных корня.

k

=\frac1{(- \frac{5}{2})^2}

=\frac{4}{25}

Один корень должен совпасть с выколотой точкой.

x

=\frac{5}{2}

Противоположный корень не запрещён, поэтому остаётся ровно одно пересечение.

k\in(-\infty;0]\quad\Longrightarrow\quad N=0

Число общих точек на указанных уровнях.

k\in\{\frac{4}{25}\}\quad\Longrightarrow\quad N

=1

Число общих точек на указанных уровнях.

k\in(0;\frac{4}{25})\cup(\frac{4}{25};\infty)\quad\Longrightarrow\quad N

=2

Число общих точек на указанных уровнях.

Проверка второго корня обязательна: выколотая точка удаляет только одно пересечение.

Проверяем выбранные значения

Проверим показанные на рисунке прямые по формулам. Каждый корень учитываем только на его участке; общие границы не считаем дважды.

k

=\frac{4}{25}\quad\Longrightarrow\quad N

=1

Подстановка в формулы частей и проверка их промежутков подтверждают это число точек.

Полный разбор всех промежутков и граничных значений приведён выше, поэтому отдельные примеры не подменяют доказательство полноты ответа.

Записываем полный ответ

Построить график и найти все значения $k$ , при которых получается нужное число общих точек.

k\in\{\frac{4}{25}\}

Учитываем все найденные значения и правильно ставим скобки у границ промежутков.

Что проверяет эксперт в задании №22

За задание можно получить до 2 баллов. В материалах ФИПИ оцениваются построение графика и полный ответ на вопрос задачи.

2 балла: График построен верно и получен правильный ответ: найдены все требуемые значения параметра либо наибольшее число общих точек.
1 балл: График построен верно, но ответ на вопрос задачи неверен или отсутствует.
0 баллов: Решение не отвечает указанным критериям. Один ответ без правильно построенного графика недостаточен.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026, страница 25. Решения и образцы записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Все части графика построены на своих промежутках; вершины и опорные точки вычислены верно.Выколотые точки, включённые границы и асимптоты учтены при подсчёте общих точек.Проверены промежутки и их границы; записан полный ответ с правильными знаками и скобками.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, графики, исходные ограничения и все значения параметра. Ответы сверены двумя независимыми способами.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Определите область определения до любых сокращений.
Преобразуйте формулу; раскройте модули по промежуткам их знака.
Найдите вершины, границы частей и несколько опорных точек.
Постройте график, различая закрашенные и выколотые точки.
Посчитайте общие точки для всех промежутков параметра и отдельно на их границах.
Проверьте ответ по формулам и запишите все подходящие значения.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

График функции состоит из точек $(x;f(x))$ , где x входит в область определения.
Вершина параболы $y=ax^2+bx+c$ имеет абсциссу $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ .
Прямая $y=m$ горизонтальна, а прямая $y=kx$ проходит через начало координат.
Раскрытие модуля зависит от знака выражения под ним; сокращение дроби не меняет исходные ограничения.
Касание, соединение частей и выколотая точка могут изменить число общих точек на граничном уровне.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Сократить дробь и забыть отметить запрещённый x выколотой точкой.
Построить целую параболу или прямую вместо заданной части.
Не проверить, входит ли конец промежутка в график.
Посчитать соединяющую точку двух частей дважды или засчитать выколотую точку.
Проверить только отдельные удобные значения параметра и пропустить границы или другие промежутки.

Все задания №22 (157)

Гипербола с выколотой точкой и y = kx

Сначала решите на бумаге

Решаем и оформляем задание №22

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

1Находим область определения

2Получаем удобные формулы для построения

3Строим ветвь гиперболы y=1xy=\dfrac{1}{x}y=x1​

4Отмечаем границы и собираем график

График и прямые с параметром

5Считаем общие точки и проверяем границы

6Проверяем выбранные значения

7Записываем полный ответ

Что проверяет эксперт в задании №22

Сверьте свою запись

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Находим область определения

Получаем удобные формулы для построения

Строим ветвь гиперболы $y=\dfrac{1}{x}$

Отмечаем границы и собираем график

Считаем общие точки и проверяем границы

Проверяем выбранные значения

Записываем полный ответ