ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 9 · ФИПИ 05EE5C40 из 111

x²−121=0 — меньший корень

Решите уравнение $x^{2} - 121 = 0$ .

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший
из корней.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 05EE5C.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: -11.

Что нужно найти

Решить уравнение ${x}^{2}-121=0$ . Записать меньший корень.

Короткий ход решения

Выражаем x², находим положительный и отрицательный корни. Получаем корни $-11$ и $11$ ; по условию выбираем меньший: $-11$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное уравнение: ${x}^{2}-121=0$
Что записать в ответ: Меньший корень
Способ решения: Выражаем x², находим положительный и отрицательный корни.

1. Понимаем, что требуется найти

Корень уравнения — это число, при подстановке которого вместо $x$ левая и правая части становятся равными. Условие просит записать меньший корень. Сначала найдём все корни и проверим их, затем выберем нужный.

{x}^{2}

-121

=0

Знак равенства нужно сохранять: прибавлять или вычитать одно и то же выражение можно в обеих частях; делить обе части можно только на ненулевое число.

2. Оставляем квадрат неизвестного слева

Чтобы убрать $-121$ слева, прибавляем 121 к обеим частям. Слева противоположные числа дают ноль.

x^{2}

-121

+121

=0

+121

x^{2}

=121

Нужно найти все числа, квадрат которых равен 121.

3. Находим положительное число с нужным квадратом

Проверяем: число 11, умноженное само на себя, даёт 121. Поэтому арифметический квадратный корень из 121 равен 11.

11

\cdot11

=121

\sqrt{121}

=11

Арифметический квадратный корень неотрицателен. Но уравнение с квадратом неизвестного может иметь и отрицательный корень.

4. Учитываем оба корня

Квадрат числа 11 равен 121. Квадрат числа $-11$ тоже равен 121: при умножении двух отрицательных чисел получается положительное число.

(-11)^{2}

=(-11)

\cdot(-11)

=121

x

=-11

x

=11

Все корни: $-11$ и $11$ . Ограничиваться только положительным числом нельзя.

5. Проверяем корень -11

Подставляем $x=-11$ именно в исходное уравнение ${x}^{2}-121=0$ . Сначала считаем левую часть, затем правую. Отрицательное число подставляем в скобках. Вычисляем по порядку: скобки и степени, умножение, затем сложение и вычитание.

(-11)^{2}

-121

=121

-121

=0

0

=0

Обе части равны $0$ . Значит, $x=-11$ действительно является корнем исходного уравнения.

6. Проверяем корень 11

Подставляем $x=11$ именно в исходное уравнение ${x}^{2}-121=0$ . Сначала считаем левую часть, затем правую. Вычисляем по порядку: скобки и степени, умножение, затем сложение и вычитание.

11^{2}

-121

=121

-121

=0

0

=0

Обе части равны $0$ . Значит, $x=11$ действительно является корнем исходного уравнения.

7. Выбираем меньший корень по условию

Проверка подтвердила оба корня: $-11$ и $11$ . Отрицательное число меньше положительного. Условие требует меньший корень, поэтому выбираем $-11$ .

В ответе нужен только меньший корень: -11. Записывать оба через точку с запятой здесь не нужно.

8. Записываем ответ

После проверки переносим в поле ответа только найденное число.

-11

Ответ: -11. Не забудьте знак минус. Букву x, знак равенства и поясняющие слова вводить не нужно.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Исходное уравнение	${x}^{2}-121=0$
Все найденные корни	$-11$ и $11$
Корень для ответа	$-11$

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Выразите $x^2$ , прибавив одно и то же число к обеим частям.
Найдите положительное число, квадрат которого равен правой части.
Запишите оба корня — с минусом и с плюсом — и проверьте их.
Выберите именно тот корень, который указан в условии.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Правила преобразования уравнений и поиска корней

Корень — значение переменной, при котором исходное равенство верно.
Чтобы равенство сохранилось, одно и то же число или выражение прибавляют или вычитают в обеих частях.
Подстановка найденного числа в исходное уравнение позволяет проверить ответ.
Если $a>0$ , то уравнение $x^2=a$ имеет два корня: $x=-\sqrt{a}$ и $x=\sqrt{a}$ .
Квадрат отрицательного числа положителен: знак минус входит в скобки вместе с числом.
Любое отрицательное число меньше любого положительного.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не теряйте отрицательный корень при переходе от $x^2=a$ к значениям $x$ .
Не путайте $(-a)^2$ и $-a^2$ : в первом случае в квадрат возводится число вместе с минусом.
Перечитать последнее предложение условия обязательно: ответом может быть меньший или больший корень.

Все задания №9 (111)