ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 9 · ФИПИ 540ABC26 из 111

x²−11x+30=0 — меньший корень

Решите уравнение $x^{2} - 11 x + 30 = 0$ .

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший
из корней.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 540ABC.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 5.

Что нужно найти

Решить уравнение ${x}^{2}-11x+30=0$ . Записать меньший корень.

Короткий ход решения

Вычисляем дискриминант и находим оба корня по формуле. Получаем корни $5$ и $6$ ; по условию выбираем меньший: $5$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное уравнение: ${x}^{2}-11x+30=0$
Что записать в ответ: Меньший корень
Способ решения: Вычисляем дискриминант и находим оба корня по формуле.

1. Понимаем, что требуется найти

Корень уравнения — это число, при подстановке которого вместо $x$ левая и правая части становятся равными. Условие просит записать меньший корень. Сначала найдём все корни и проверим их, затем выберем нужный.

{x}^{2}

-11x

+30

=0

Знак равенства нужно сохранять: прибавлять или вычитать одно и то же выражение можно в обеих частях; делить обе части можно только на ненулевое число.

2. Определяем коэффициенты квадратного уравнения

Сравниваем уравнение со стандартным видом $ax^2+bx+c=0$ . Коэффициенты берём вместе со знаками. Если перед $x^2$ число не написано, коэффициент равен 1.

Здесь $a=1$ , $b=-11$ , $c=30$ . Отрицательное значение $b$ особенно важно сохранить при подстановке в формулы.

3. Вычисляем дискриминант по частям

Дискриминант вычисляется по формуле $D=b^2-4ac$ . Сначала отдельно возводим $b$ в квадрат и находим произведение $4ac$ .

(-11)^{2}

=(-11)

\cdot(-11)

=121

4

\cdot1

\cdot30

=120

(-11)^{2}

-4

\cdot1

\cdot30

=121

-120

=1

Получили $D=1$ . Он положителен, поэтому у уравнения два различных действительных корня.

4. Готовим числа для формулы корней

Используем формулу $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ . Знак «плюс-минус» означает два отдельных вычисления: одно с минусом, другое с плюсом.

-(-11)

=11

\sqrt{1}

=1

2

\cdot1

=2

В числителе будет 11 с добавлением или вычитанием 1; весь числитель нужно разделить на 2.

5. Первый корень: вариант со знаком минус

Подставляем в формулу знак «-». Сначала вычисляем числитель, затем делим его на весь знаменатель 2.

x

=\frac{-(-11)-\sqrt{1}}{2\cdot1}

=\frac{11-1}{2}

11

-1

=10

x

=\frac{10}{2}

=5

Этот вариант даёт $x=5$ . Деление выполняется нацело.

6. Второй корень: вариант со знаком плюс

Подставляем в формулу знак «+». Сначала вычисляем числитель, затем делим его на весь знаменатель 2.

x

=\frac{-(-11)+\sqrt{1}}{2\cdot1}

=\frac{11+1}{2}

11

+1

=12

x

=\frac{12}{2}

=6

Этот вариант даёт $x=6$ . Деление выполняется нацело.

7. Проверяем корень 5

Подставляем $x=5$ именно в исходное уравнение ${x}^{2}-11x+30=0$ . Сначала считаем левую часть, затем правую. Вычисляем по порядку: скобки и степени, умножение, затем сложение и вычитание.

5^{2}

-11

\cdot 5

+30

=25

-11

\cdot 5

+30

=25

-55

+30

=(-30)

+30

=0

0

=0

Обе части равны $0$ . Значит, $x=5$ действительно является корнем исходного уравнения.

8. Проверяем корень 6

Подставляем $x=6$ именно в исходное уравнение ${x}^{2}-11x+30=0$ . Сначала считаем левую часть, затем правую. Вычисляем по порядку: скобки и степени, умножение, затем сложение и вычитание.

6^{2}

-11

\cdot 6

+30

=36

-11

\cdot 6

+30

=36

-66

+30

=(-30)

+30

=0

0

=0

Обе части равны $0$ . Значит, $x=6$ действительно является корнем исходного уравнения.

9. Выбираем меньший корень по условию

Проверка подтвердила оба корня: $5$ и $6$ . Сравниваем найденные числа. Условие требует меньший корень, поэтому выбираем $5$ .

В ответе нужен только меньший корень: 5. Записывать оба через точку с запятой здесь не нужно.

10. Записываем ответ

После проверки переносим в поле ответа только найденное число.

5

Ответ: 5. Букву x, знак равенства и поясняющие слова вводить не нужно.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Исходное уравнение	${x}^{2}-11x+30=0$
Все найденные корни	$5$ и $6$
Корень для ответа	$5$

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Запишите коэффициенты $a$ , $b$ , $c$ вместе со знаками.
Вычислите $D=b^2-4ac$ и $\sqrt{D}$ .
Отдельно найдите корень со знаком минус и корень со знаком плюс в формуле.
Подставьте оба корня в исходное уравнение и выберите тот, который требует условие.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Правила преобразования уравнений и поиска корней

Корень — значение переменной, при котором исходное равенство верно.
Чтобы равенство сохранилось, одно и то же число или выражение прибавляют или вычитают в обеих частях.
Подстановка найденного числа в исходное уравнение позволяет проверить ответ.
Квадратное уравнение имеет вид $ax^2+bx+c=0$ , где $a\ne0$ .
Дискриминант: $D=b^2-4ac$ . При $D>0$ существуют два разных действительных корня.
Формула корней: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ . На $2a$ делится весь числитель.
Коэффициенты нужно выписывать вместе со знаками; $-(-b)=b$ .

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не теряйте минус у коэффициента $b$ и не забывайте, что $-b$ меняет его знак.
Возводите отрицательное $b$ в квадрат в скобках: $(-b)^2=b^2$ .
Не заменяйте знаменатель $2a$ на $a$ и не делите на него только корень дискриминанта.
Вычислите оба варианта знака перед корнем, затем выберите меньший или больший корень по условию.

Все задания №9 (111)