ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 9 · ФИПИ 5FA26E58 из 111

5x²=35x — меньший корень

Решите уравнение $5 x^{2} = 35 x$ .

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший
из корней.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 5FA26E.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 0.

Что нужно найти

Решить уравнение $5{x}^{2}=35x$ . Записать меньший корень.

Короткий ход решения

Приводим уравнение к нулевому произведению и приравниваем каждый множитель к нулю. Получаем корни $0$ и $7$ ; по условию выбираем меньший: $0$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное уравнение: $5{x}^{2}=35x$
Что записать в ответ: Меньший корень
Способ решения: Приводим уравнение к нулевому произведению и приравниваем каждый множитель к нулю.

1. Понимаем, что требуется найти

Корень уравнения — это число, при подстановке которого вместо $x$ левая и правая части становятся равными. Условие просит записать меньший корень. Сначала найдём все корни и проверим их, затем выберем нужный.

5{x}^{2}

=35x

Знак равенства нужно сохранять: прибавлять или вычитать одно и то же выражение можно в обеих частях; делить обе части можно только на ненулевое число.

2. Собираем все слагаемые в одной части

Вычитаем $35x$ из обеих частей. Справа получаем ноль. Это позволит использовать свойство нулевого произведения.

5{x}^{2}

-35x

=35x

-35x

5x^{2}

-35x

=0

На этом шаге не делим на $x$ : он может равняться нулю, и так мы потеряли бы один из корней.

3. Выносим общий множитель x за скобки

В обоих слагаемых есть множитель $x$ . После его вынесения от $5x^{2}$ остаётся $5x$ , а от $-35x$ остаётся $-35$ .

5x^{2}

-35x

=x(5x-35)

x(5x-35)

=0

Проверить разложение можно раскрытием скобок: оно должно вернуть исходные два слагаемых.

4. Приравниваем каждый множитель к нулю

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому рассматриваем два случая.

x

=0

5x

-35

=0

Первый корень уже найден: 0. Для второго решаем линейное уравнение из скобок.

5. Находим второй корень

Прибавляем 35 к обеим частям уравнения $5x-35=0$ , затем делим обе части на 5. Это число не равно нулю.

5x

=35

x

=\frac{35}{5}

=7

Получили два различных корня: $0$ и $7$ . Деление на $x$ в начале решения оставило бы только второй и дало бы неправильный ответ на это задание.

6. Проверяем корень 0

Подставляем $x=0$ именно в исходное уравнение $5{x}^{2}=35x$ . Сначала считаем левую часть, затем правую. Вычисляем по порядку: скобки и степени, умножение, затем сложение и вычитание.

5

\cdot 0^{2}

=5

\cdot 0

=0

35

\cdot 0

=0

Обе части равны $0$ . Значит, $x=0$ действительно является корнем исходного уравнения.

7. Проверяем корень 7

Подставляем $x=7$ именно в исходное уравнение $5{x}^{2}=35x$ . Сначала считаем левую часть, затем правую. Вычисляем по порядку: скобки и степени, умножение, затем сложение и вычитание.

5

\cdot 7^{2}

=5

\cdot 49

=245

35

\cdot 7

=245

Обе части равны $245$ . Значит, $x=7$ действительно является корнем исходного уравнения.

8. Выбираем меньший корень по условию

Проверка подтвердила оба корня: $0$ и $7$ . Ноль меньше положительного числа. Условие требует меньший корень, поэтому выбираем $0$ .

В ответе нужен только меньший корень: 0. Записывать оба через точку с запятой здесь не нужно.

9. Записываем ответ

После проверки переносим в поле ответа только найденное число.

0

Ответ: 0. Букву x, знак равенства и поясняющие слова вводить не нужно.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Исходное уравнение	$5{x}^{2}=35x$
Все найденные корни	$0$ и $7$
Корень для ответа	$0$

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Перенесите все слагаемые в одну часть, чтобы в другой части получился ноль.
Вынесите общий множитель $x$ за скобки.
Приравняйте каждый множитель к нулю и найдите все корни.
Проверьте оба корня подстановкой и выберите нужный по условию.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Правила преобразования уравнений и поиска корней

Корень — значение переменной, при котором исходное равенство верно.
Чтобы равенство сохранилось, одно и то же число или выражение прибавляют или вычитают в обеих частях.
Подстановка найденного числа в исходное уравнение позволяет проверить ответ.
Общий множитель можно вынести за скобки: $ax^2-bx=x(ax-b)$ .
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.
Нельзя делить на выражение с неизвестной, не убедившись, что оно не равно нулю.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не делите обе части на $x$ : здесь $x=0$ является корнем.
При переносе правого слагаемого влево измените его знак.
Не останавливайтесь после решения уравнения в скобках: корень от вынесенного множителя тоже нужен.
В ответ запишите один корень, выбранный по условию, а не список всех найденных корней.

Все задания №9 (111)