Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен 84 $2$ . Найдите длину образующей конуса.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ Dc980A по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: Dc980A

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 168

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: использовать прямоугольный треугольник из радиуса, высоты и образующей.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Около конуса описана сфера радиуса $R=84\sqrt{2}$ . Центр сферы совпадает с центром основания конуса.

Нужно найти: длину образующей конуса.

План решения: Свяжем радиус основания и высоту конуса с радиусом сферы, затем применим теорему Пифагора.

Поясняющая формула

l^2=r^2+h^2

l=\sqrt{r^2+h^2}

В осевом сечении $r$ и $h$ являются катетами прямоугольного треугольника, а образующая $l$ — его гипотенузой.

Шаг 1. Определим радиус основания и высоту

Окружность основания лежит на сфере, а её центр совпадает с центром сферы. Поэтому радиус основания конуса равен $R$ . Вершина конуса также лежит на сфере, значит высота конуса равна $R$ :

r=R,\qquad h=R

Шаг 2. Найдём образующую

Радиус $r$ , высота $h$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник:

l=\sqrt{r^2+h^2}

l=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2R^2}=R\sqrt{2}

Шаг 3. Подставим радиус сферы

l=84\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}

Перемножаем корни:

l=84\cdot(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})=168

Ответ:

168

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .