Через среднюю линию основания правильной треугольной призмы, объём которой равен 84, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ 6F27B9 по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 6F27B9

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 21

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: учесть квадрат коэффициента подобия для площади основания.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Объём исходной треугольной призмы равен $84$ . Сечение проходит через среднюю линию основания параллельно боковому ребру.

Нужно найти: объём отсечённой треугольной призмы.

План решения: Найдём отношение площадей подобных оснований и учтём, что высота призмы не изменилась.

Поясняющая формула

V_{\text{призмы}}=S_{\text{осн}}\cdot h

Здесь $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы. Так как у исходной и отсечённой призм высота одинакова, отношение их объёмов равно отношению площадей оснований.

Шаг 1. Найдём коэффициент подобия оснований

Средняя линия отсекает треугольник, стороны которого вдвое меньше сторон исходного основания:

k=\dfrac{1}{2}

Шаг 2. Найдём отношение площадей и объёмов

Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия:

\dfrac{S_{\text{мал}}}{S_{\text{исх}}}=k^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}

Высота отсечённой призмы та же, поэтому объёмы имеют такое же отношение:

V_{\text{мал}}=\dfrac{1}{4}V_{\text{исх}}

Шаг 3. Вычислим объём

V_{\text{мал}}=84\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{84}{4}=21

Ответ:

21

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .