Задание 19 из 61Стереометрия

Линия №3 · Базовый уровень

Объём куба равен 144. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ F3Fc26 по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: F3Fc26

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 18

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: сравнить объём отсечённой призмы с объёмом куба.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Объём куба равен $144$ . Плоскость проходит через середины двух рёбер одной вершины и параллельна третьему ребру.

Нужно найти: объём отсечённой треугольной призмы.

План решения: Сравним площадь треугольного основания отсечённой призмы с площадью грани куба и перенесём это отношение на объёмы.

Поясняющая формула

S_{\triangle}=\dfrac{a\cdot b}{2}

V_{\text{призмы}}=S_{\triangle}\cdot h,\qquad V_{\text{куба}}=a^3

Сначала находим площадь треугольного основания отсечённой призмы, затем умножаем её на высоту, равную ребру куба.

Шаг 1. Сравним основания

Пусть ребро куба равно $a$ . В основании отсечённой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $\dfrac{a}{2}$ и $\dfrac{a}{2}$ :

S_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{a}{2}=\dfrac{a^2}{8}

Площадь грани куба равна $a^2$ , поэтому треугольное основание составляет $\dfrac{1}{8}$ площади грани.

Шаг 2. Сравним объёмы

Высота отсечённой призмы равна ребру куба $a$ , то есть совпадает с высотой куба. Поэтому

V_{\text{призмы}}=\dfrac{1}{8}V_{\text{куба}}

Шаг 3. Вычислим объём призмы

V_{\text{призмы}}=144\div8=18

Ответ:

18

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Не распознать пирамиду или призму, образованную указанными вершинами.
Забыть коэффициент $\frac{1}{3}$ в формуле объёма пирамиды или конуса.
Использовать линейный коэффициент подобия вместо квадрата для площадей.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Определите тип тела и его основание.
2Проверьте, какая длина является высотой.
3Сверьте коэффициенты в формуле и единицы результата.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №3Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена