Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высота уменьшится в 9 раз, а радиус основания останется прежним?

Оригинальный рисунок задания ФИПИ E71725 по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: E71725

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 9

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: использовать прямую пропорциональность объёма высоте.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Высота конуса уменьшается в $9$ раз, радиус основания не меняется.

Нужно найти: во сколько раз уменьшится объём конуса.

План решения: Запишем формулу объёма и определим, как она зависит от высоты при постоянном радиусе.

Поясняющая формула

V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h

\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{h_2}{h_1}

При неизменном радиусе объём конуса прямо пропорционален его высоте.

Шаг 1. Запишем формулу объёма конуса

V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h

Шаг 2. Изменим высоту

Новая высота равна $h_2=\dfrac{h}{9}$ . Радиус $r$ остаётся прежним:

V_2=\dfrac{1}{3}\pi r^2\cdot\dfrac{h}{9}=\dfrac{1}{9}V_1

Шаг 3. Сформулируем результат

Новый объём составляет $\dfrac{1}{9}$ первоначального, следовательно, объём уменьшится в $9$ раз.

Ответ:

9

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .