Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ F4F51D по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: F4F51D

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 20

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: сравнить цилиндры по множителю r

^{2}

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Объём первого цилиндра равен $15$ . У второго радиус в $2$ раза больше, а высота в $3$ раза меньше.

Нужно найти: объём второго цилиндра.

План решения: Сравним формулы объёмов и отдельно учтём изменение квадрата радиуса и высоты.

Поясняющая формула

V=\pi r^2h

\dfrac{V_2}{V_1}=\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)^2\cdot\dfrac{h_2}{h_1}

Объём цилиндра зависит от квадрата радиуса и от первой степени высоты.

Шаг 1. Запишем формулу объёма цилиндра

V=\pi r^2h

Радиус входит в формулу во второй степени, а высота — в первой.

Шаг 2. Найдём коэффициент изменения объёма

При увеличении радиуса в $2$ раза квадрат радиуса увеличивается в

2^2=4

раза. Уменьшение высоты в $3$ раза даёт множитель $\dfrac{1}{3}$ . Общий коэффициент:

k=4\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}

Шаг 3. Вычислим новый объём

V_2=15\cdot\dfrac{4}{3}

15\div3=5,\qquad 5\cdot4=20

V_2=20

Ответ:

20

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .